83 lines
3.7 KiB
TeX
83 lines
3.7 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
\title{Équation avec l'exponentielle}
|
|
\tribe{Terminale ES}
|
|
\date{Mars 2020}
|
|
|
|
\pagestyle{empty}
|
|
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Équations avec logarithme}]
|
|
Résoudre les équations et inéquations suivantes
|
|
\begin{multicols}{3}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\ln(x) = 4$
|
|
\item $\ln(x) + 1 = 0$
|
|
\item $5\ln(x) -3 = 5$
|
|
\item $\ln(x) =3\ln(5)$
|
|
\item $\ln(2x+3) = 0$
|
|
\item $(x+1)\ln(x) = 0$
|
|
\item $\ln(x+2) + \ln(3) = \ln(x)$
|
|
\item $\ln(2x+1) = 2\ln(x)$
|
|
\item $\ln(x) + \ln(x+2) = \ln(9x-12)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\arediger{Un exercice parmi les 3 suivants. Le premier est le plus proche d'un exercice type bac, le 2e demande de la prise d'initiative et le 3e en plus d'actualité}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Renard}]
|
|
Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de \np{1240} renards à la fin de l'année 2016.
|
|
|
|
Les études ont montré que cette population diminue de 15\% par an.
|
|
|
|
Pour compenser cette diminution, le parc décide d'introduire chaque année 30 renards.
|
|
|
|
On modélise alors la population de renard par la suite $(u_n)$ définie par la relation de récurrence suivante \\$u_{n+1} = 0.85u_n +30$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Calculer $u_1$ et $u_2$
|
|
\item Est-ce que la suite $(u_n)$ est géométrique?
|
|
\end{enumerate}
|
|
On veut chercher une formule explicite pour cette suite $(u_n)$. Pour cela, on passe par une suite annexe $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 200$
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\setcounter{enumi}{2}
|
|
\item Calculer $v_0$ et $v_1$
|
|
\item La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,85$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
|
\item Démontrer que $u_n = 1040\times 0.85^n + 200$
|
|
\item Par le calcul, déterminer quand la population va atteindre 500 individus.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation}]
|
|
Une entreprise achète une machine neuve dont le prix est de \np{84000}\euro. On estime qu'elle se déprécie de 12\% par an.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Modéliser la situation avec une suite en précisant sa formule explicite.
|
|
\item Sans utiliser le tableur de la calculatrice, calculer au bout de combien d'années la valeur de la machine passera en dessous de \np{20000}\euro.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Taux d'évolution moyen}]
|
|
D'après Wikipédia, le nombre de cas constaté d'infectés par le Covid-19 en France est passé de 130 cas au premier mars à \np{44550} le 30 mars.
|
|
|
|
\includegraphics[scale=0.5]{./fig/evo_covid}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Calculer le taux d'évolution du nombre de cas constatés entre le 1 mars et le 30 mars.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
On souhaite calculer le taux d'évolution moyenne journalier du nombre d'infectés. Pour cela, on modélise cette quantité par une suite géométrique $(u_n)$ où $n$ désigne le nombre de jours depuis le 1mars. On a donc
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\setcounter{enumi}{1}
|
|
\item D'après les données de l'énoncé (pas le graphique) déterminer $u_0$ et $u_{29}$.
|
|
\item On note $q$ la raison de cette suite (qui est inconnue). Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
|
|
\item En déduire des deux questions précédente la valeur de $q$.
|
|
\item $q$ Représente le coefficient multiplicateur moyen journalier du nombre d'infectés. En déduire, le taux d'évolution moyen.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|