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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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%\usepackage[inline]{enumitem}
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%\usepackage{tasks}
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\title{DS 3}
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\tribe{Terminale ES-L}
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\date{27 novembre 2019}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
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\begin{exercise}[subtitle={Grand jeu}, points=6]
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Une grande enseigne décide d'organiser un jeu permettant de gagner un bon d'achat. Le jeu se déroule en deux étapes:
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\begin{itemize}
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\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 1} : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de 1 à 50, chaque numéro ayant la même probabilité d'être découvert ;
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\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 2}:
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\begin{itemize}
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\item s'il découvre un numéro compris entre 1 et 15, il fait tourner une roue divisée en 10 secteurs de même taille dont 8 secteurs contiennent une étoile ;
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\item sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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Un bon d'achat est gagné par le client si la roue s'arrête sur une étoile.
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\medskip
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Un client joue à ce jeu. On note:
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$N$ l'évènement \og Le client découvre un numéro entre 1 et 15\fg{};
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$E$ l'évènement \og Le client obtient une étoile \fg.
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
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\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
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\end{enumerate}
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\item Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile.
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\item Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à $0,31$.
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\item Le client a gagné un bon d'achat. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu un numéro
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entre 1 et 15 à la première étape ?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item
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\[
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P(N) = \frac{15}{50} = 0.3
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\]
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\[
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|
P_N(E) = \frac{8}{10} = 0.8
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|
\]
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\item
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\begin{minipage}[h]{0.7\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$N$}
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child {node {$E$}
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edge from parent
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|
node[above] {0.8}
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|
}
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child {node {$\overline{E}$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {1-0.8 = 0.2}
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|
}
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|
edge from parent
|
|
node[above] {0.3}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child { node {$\overline{N}$}
|
|
child {node {$E$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.1}
|
|
}
|
|
child {node {$\overline{E}$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {1-0.1=0.9}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {1-0.3 = 0.7}
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|
} ;
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\end{tikzpicture}
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|
\end{minipage}
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|
\item
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\[
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|
P(E \cap N) = P(N) \times P_N(E) = 0.3 \times 0.8 = 0.24
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|
\]
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|
\item Un client gagne le bon d'achat quand il arrive sur une étoile.
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\[
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|
P(E) = P(E\cap N) + P(E \cap \overline{N}) = 0.24 + 0.7\times 0.1 = 0.31
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|
\]
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|
\item
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|
\[
|
|
P_E(N) = \frac{P(E\cap N)}{P(E)} = \frac{0.24}{0.31} = 0.77
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|
\]
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|
\end{enumerate}
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|
\end{enumerate}
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|
\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Autour de l'exponentiel}, points=5]
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\begin{enumerate}
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|
\item
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|
\begin{enumerate}
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\item Développer puis réduire
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\[
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A = e^{2x} (e^{-x} + 3)
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|
\]
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\item Factoriser
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\[
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B = (x+1)e^{5x} - 2xe^{5x}
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\]
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\item Résoudre l'équation
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\[
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|
e^{3x-5} > e^{5x+2}
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\]
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\end{enumerate}
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\item En 2002, la culture de plantation d'OGM occupait une surface de 59,2 milions d'hectares dans le monde. On peut modéliser la surface dédiée au plantation OGM à l'année $2002+x$ par la fonction
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\[
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s(x) = 59.2\times 1.15^x
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est le sens de variation de cette fonction?
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\item Calculer $\dfrac{s(x+1) - s(x)}{s(x)}$ et interpréter le résultat.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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|
\item
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|
\begin{enumerate}
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|
\item
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\begin{eqnarray*}
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A &=& e^{2x} (e^{-x} + 3) \\
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A &=& e^{2x-x} + 3\times e^{2x} \\
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|
A &=& e^{x} + 3\times e^{2x}
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|
\end{eqnarray*}
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|
\item
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\begin{eqnarray*}
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|
B &=& (x+1)e^{5x} - 2xe^{5x} \\
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|
B &=& (x+1 - 2x)\timese^{5x} \\
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|
B &=& (-x+1)\timese^{5x}
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|
\end{eqnarray*}
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|
\item
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\begin{eqnarray*}
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e^{3x-5} &>& e^{5x+2} \\
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3x-5 &>& 5x+2 \\
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3x-5x &>& 2+5 \\
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-2x &>& 7 \\
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x &<& \frac{7}{-2} = \frac{-7}{2} \\
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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|
\item
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\begin{enumerate}
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\item Comme $1.15 > 1$ alors la fonction $x\mapsto 1.15^x$ est croissante. Comme $59.2 > 0$ alors la fonction $s$ est croissante.
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|
\item
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\begin{eqnarray*}
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\frac{s(x+1) - s(x)}{s(x)} &=& \frac{59.2\times 1.15^{x+1} - 59.2\times 1.15^{x}}{59.2\times 1.15^{x}} \\
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&=& \frac{59.2\times 1.15^{x}(1.15 -1)}{59.2\times 1.15^{x}} \\
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&=& 1.15 -1 \\
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&=& 0.15 \\
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\end{eqnarray*}
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Ainsi le taux d'évolution de la fonction $s$ est constant et égal à 0.15.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\pagebreak
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\begin{exercise}[subtitle={Étude graphique}, points=6]
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Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~2]$. On a placé les points A(0~;~2), B(2~;~0) et C$( -2~;~0)$.
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On dispose des renseignements suivants:
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\begin{itemize}
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\item[$\bullet~~$] Le point B appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
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\item[$\bullet~~$]La droite (AC) est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_f$.
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\item[$\bullet~~$]La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 est une droite horizontale.
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\end{itemize}
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\setlength\parindent{0mm}
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\begin{center}
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\def\tkzRatioLineGrid{0.75}
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\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1, baseline=(a.north)]
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\tkzInit[xmin=-10,xmax=2,xstep=1,
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ymin=-1,ymax=3,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY%[up space=0.2,right space=0.2]
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\tkzFct[domain=-10:2,color=blue,very thick]%
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{(2-x)*exp(x)}
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\draw (1,2) node {$\mathcal{C}_f$};
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\draw[thick] (-10, 2.71) -- (2, 2.71);
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\draw[thick] (-3, -1) -- (1.5, 3.5);
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\draw[color=black] (0,2) node {$\times$} node[below right] {A};
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\draw[color=black] (2, 0) node {$\times$} node[above right] {B};
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\draw[color=black] (-2, 0) node {$\times$} node[above left] {C};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
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\begin{enumerate}
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\item Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
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\item Indiquer la valeur de $f'(1)$.
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\item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.
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\item Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10~;~2]$.
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\item Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$.
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\item Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe, et celui sur lequel elle est concave.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item $f(0)=2$ (point $A(0\,;\,2)$) et $f(2)=0$ (point $B(2\,;\,0)$).
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\item Au point d'abscisse la tangente à $\mathcal(C)_f$ est horizontale donc $f'(1)=0$.
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\item La tangente à $\mathcal(C)_f$ est la droite $(AC)$. Son équation est de la forme : $y=m\,x+p$.
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$m=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{0-2}{-2-0}=1$ et $p=y_A-m\times x_A=2-1\times 0=2$.
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L'équation de la tangente à $\mathcal(C)_f$ au point A a pour équation : $y = x + 2$.
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\item À l'aide du graphique, on peut affirmer que sur l'intervalle $[-10\,;\,2\strut]$ l'équation $f(x)=1$ admet deux solutions distinctes l'une positive, l'autre négative.
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\item La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-10\,;\,1\strut]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[1\,;\,2\strut]$.
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\item La tangente à $\mathcal(C)_f$ au point d'abscisse 0 (point $A$) coupe la courbe : le point $A$ est donc un point d'inflexion. La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-10\,;\,0\strut]$ et concave
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Technique}, points=3]
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\begin{enumerate}
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\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation: $2x^2-7x-4 \geq 0$.
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\item On choisit un nombre au hasard dans l'intervalle $\intFF{0}{10}$.
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Calculer la probabilité que ce nombre soit solution de l'inéquation précédente.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item La résolution de l'équation passe par l'étude de signe de la fonction
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\[
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f(x) = 2x^2 - 7x - 4
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\]
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Calcul du discriminant
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\[
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\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\times2\times(-4) = 81 = 9^2
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\]
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$\Delta$ est strictement positif donc la fonction $f$ a deux racines.
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\[
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x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7-9}{2\times2} = \frac{-1}{2}
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\]
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\[
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x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7+9}{2\times2} = 4
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\]
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Comme $a = 2 > 0$, $f$ est positive en dehors des racines.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$, $-\frac{1}{2}$, $4$, $+\infty$}
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|
\tkzTabLine{, + , z, -, z, +, }
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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Donc $2x^2-7x-4\geq0$ a pour solution $\intOF{-\infty}{-\frac{1}{2}}\cup \intFO{4}{+\infty}$
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\item On note $X$ la variable aléatoire associée à cette expérience.
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\[
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P(X \mbox{ solution de l'inéquation }) = P(X > 4) = \frac{6}{10} = 0.6
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\]
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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