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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Projeté orthogonal et produit scalaire}
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\tribe{1ST}
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\date{Novembre 2019}
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\pagestyle{empty}
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%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
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\begin{document}
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\section*{Produit scalaire}
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Pour mesurer l'effet d'une force (un vecteur) sur une direction (un vecteur), les mathématiciens ont crée une opération sur les vecteurs: \textbf{le produit scalaire}.
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\subsection*{Définition}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.
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On note $\vec{u} . \vec{v}$ le produit scalaire qui se calcule de la manière suivante
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\[
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\vec{u} . \vec{v} = ||\vec{u}||\times ||\vec{v}|| \times Cos(\vec{u};\vec{v})
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\]
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\hfill
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw[->, very thick] (0, 0) -- (3, 0) node[below, midway] {$\vec{u}$};
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\draw[->, very thick] (0, 0) -- (2, 2) node[left, midway] {$\vec{v}$};
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\draw[->] (1,0) arc (0: 45:1) node[midway, right] {$(\vec{u};\vec{v})$};
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\end{tikzpicture}
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\hfill
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\end{minipage}
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\subsection*{Définition}
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On a vu que seul une partie du vecteur influençait sur l'autre, c'est le projeté orthogonal.
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Soient $A$, $B$ et $C$ trois points.
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On appelle $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $AC$. Et on a alors
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\bigskip
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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Si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont dans le même sens alors
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\[
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\vec{AB} \;.\; \vec{AC} = AB \times AH
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\]
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\hfill
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw[->, very thick] (0, 0) node [left] {$A$} -- (3, 0) node [right] {$B$};
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\draw[->, very thick] (0, 0) -- (2, 2) node [above] {$C$};
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\draw[dotted] (2, 0) node [below] {$H$} -- (2, 2);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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Si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont dans des sens contraires alors
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\[
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\vec{AB} \;.\; \vec{AC} = - AB \times AH
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\]
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\hfill
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw[->, very thick] (0, 0) node [below] {$A$} -- (3, 0) node [right] {$B$};
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\draw[->, very thick] (0, 0) -- (-2, 2) node [above] {$C$};
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\draw[dotted] (-2, 0) node [below] {$H$} -- (-2, 2);
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\draw (-2.5, 0) -- (0, 0);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{document}
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