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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Loi exponentielle - exercices}
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\tribe{Terminale Sti2d}
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\date{Avril 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Pannes}]
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On reprend l'activité commencée précédemment. Cette fois-ci, on modélise temps avant la première panne par une loi exponentielle de paramètres 0.02.
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On note $X$ la variable qui représenter le temps avant la première panne. On a donc $X \sim \mathcal{E} (0.02)$ et le loi de densité est
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la formule de la densité, $f(x)$, de $X$?
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\item Démontrer que $F(x) = -e^{-0.02x}$ est une primitive de $f(x)$.
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\item Calculer les quantités suivantes
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\[
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\int_0^{16} f(x) \; dx \qquad \qquad
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\int_0^{36} f(x) \; dx
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\]
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\item En déduire les quantités
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\[
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P(X \leq 16) \qquad \qquad P(X\leq 36)
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\]
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\item Calculer les probabilités suivantes
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\[
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P(X \leq 24) \qquad \qquad P(X \leq 12)
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\]
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\item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne la première année?
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\item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne la deuxième année?
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\item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne après la fin de la 3e année?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Loi exponentielle}]
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\begin{enumerate}
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\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 0.5.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la densité de $x$? On la notera $f(x)$.
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\item Démontrer qu'une primitive de $f(x)$ est $F(x) = -e^{-0.5x}$
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\item Calculer les probabilités suivantes
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\[
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P(X < 1) \qquad P(X < 10) \qquad P(1 < X < 2)
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\]
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\end{enumerate}
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\item Soit $Y \sim \mathcal{E}(0.01)$, calculer les quantités suivantes
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\[
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P(Y < 1) \qquad P(Y < 10) \qquad P(10 < Y < 20)
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\]
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\item Soit $Z \sim \mathcal{E}(0.9)$, calculer les quantités suivantes
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\[
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P(Z < 1) \qquad P(Z < 0.2) \qquad P(0.5 < Z < 0.6)
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\]
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={à l'envers}]
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Soit $T \sim \mathcal{E}(0.02)$.
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Déterminer $x$ tel que $P(T \leq x) = 0.5$.
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Comment interpréter le résultat dans le cadre du premier exercice?
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\end{exercise}
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\end{document}
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