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TeX
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Exploration des fonctions du type $ax^3 + b$}, step={1}, topics={Polynôme degré 3}]
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Dans cet exercice, on souhaite étudier les fonctions polynômes de degré 3 de la forme $ax^3+b$.
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Pour cela, on va étudier 4 fonctions de cette familles:
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\[
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f(x) = 2x^3 + 1 \qquad g(x) = -2x^3 + 1 \qquad h(x) = 2x^3 - 1 \qquad i(x) = x^3
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Pour chacune de ces fonctions préciser les valeurs de $a$ et de $b$.
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\item À l'aide de la calculatrice ou de Géogébra (disponible en ligne) tracer l'allure de la courbe de représentative de chaque fonction en prenant soin de préciser quelques valeurs qui vous semblent remarquables.
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\item Où peut-on lire la valeur de $b$ sur les graphiques?
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\item (*) Démontrer cette conjecture.
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\item D'après vous, quelle est l'influence de $a$ sur l'allure de la courbe? Qu'est-ce que cela implique sur les variations de la fonction?
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\item (*) Démontrer cette conjecture.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Solution des équations $x^3=k$}, step={2}, topics={Polynôme degré 3}]
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Dans cet exercice, nous allons chercher à résoudre les équations du type $x^3=k$. Pour cela, nous allons porter une attention particulière à la fonction $f(x) = x^3$.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer la courbe représentative de $f(x) = x^3$ avec $x$ allant de $-3$ à $3$.
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\end{enumerate}
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Les questions suivantes se répondent en utilisant le graphique.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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\item Tracer la droite $y=8$ puis résoudre l'équation $x^3 = 8$.
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\item Même question pour $x^3 = -8$.
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\item Même question pour $x^3 = 4$.
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\item Même question pour $x^3 = 2$.
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\item Même question pour $x^3 = 0$.
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\item De manière générale, combien l'équation $x^3 = k$ a-t-elle de solution?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Équations cubiques}, step={2}, topics={Polynôme degré 3}]
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Résoudre les équations suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $x^3 = 8$
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\item $x^3 = 27$
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\item $x^3 = 64$
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\item $x^3 = -27$
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\item $x^3 = 10$
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\item $x^3 = -5$
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\item (*) $2x^3 = 16$
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\item (*) $-4x^3 = 40$
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\item (*) $3x^3 + 1 = 8$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Volume d'une boule}, step={2}, topics={Polynôme degré 3}]
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Le volume d'une boule de rayon $R$ se calcule avec la formule
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\[
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V(R) = \frac{4}{3}\pi R^3
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le volume d'une boule de rayon 2cm.
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\item Quel doit être le rayon de la boule pour que son volume soit égal à $30cm^3$?
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\item (*) Si l'on multiplie le rayon par 3, par combien le volume est-il multiplié?
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\item (*) Si l'on augmente le rayon de 20\%, quel est le taux d'évolution du volume?
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\item (**) Si l'on souhaite augmenter le volume de 20\%, quel doit être le taux d'évolution du rayon?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Marche suivante: degré 3}, step={3}, topics={Polynôme degré 3}]
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\begin{enumerate}
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\item Soit $P(x) = 3x^3 - 6x^2 + 9$ un polynôme de degré 3.
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\begin{enumerate}
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\item Expliquer pourquoi $P$ est un polynôme de degré 3.
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\item Démontrer que $x=1$, $x=2$ et $x=-1$ sont des racines de $P$.
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\item En vous inspirant du travail fait sur les polynômes de degré 2, proposer une forme factorisée de $P(x)$.
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\item Développer cette forme factorisée pour retrouver l'expression de $P(x)$ initiale.
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\end{enumerate}
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\item Soit $Q(x) = 5(x-2)(x+1)(x+2)$ une fonction.
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\begin{enumerate}
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\item Développer l'expression de $Q(x)$ pour vérifier que c'est une fonction polynôme de degré 3.
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\item Conjecturer 3 racines de $Q(x)$ puis démontrer qu'elles sont bien des racines.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}, step={3}, topics={Polynôme degré 3}]
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Soit $P(x) = 2x^3 + 8x^2 + 2x - 12$ une fonction polynôme de degré 3.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer la courbe représentative de $P(x)$ et conjecturer les valeurs des racines de $P(x)$.
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\item Parmi les valeurs suivantes lesquelles sont des racines de $P(x)$.
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\[
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-3 \qquad
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-2 \qquad
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-1 \qquad
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0 \qquad
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1 \qquad
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2 \qquad
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3
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\]
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\item Proposer une forme factorisée pour $P(x)$ et vérifier la en développant l'expression.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={La racine double!}, step={3}, topics={Polynôme degré 3}]
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Soit $P(x) = 2x^3 + 2x^2 -10x - 6$ une fonction polynôme de degré 3.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer la courbe représentative de $P(x)$ et conjecturer les valeurs des racines de $P(x)$.
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\item Parmi les valeurs suivantes lesquelles sont des racines de $P(x)$ (toutes les racines se trouvent parmi ces valeurs).
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\[
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-3 \qquad
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|
-2 \qquad
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|
-1 \qquad
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0 \qquad
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|
1 \qquad
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2 \qquad
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3
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\]
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\item Proposer une forme factorisée pour $P(x)$ et vérifier la en développant l'expression.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe}, step={4}, topics={Polynôme degré 3}]
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Pour chacune des fonctions suivantes, réaliser le tableau de signe.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 3(x-1)(x-10)(x+2)$
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\item $g(x) = 2(x-2)(x+3)(x+2)$
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\item $h(x) = -3(x-1)(x-10)(x+2)$
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\item $i(x) = -2(x-1)(x+1)(x+2)$
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\item $j(x) = -3(x-1)(x-10)^2$
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\item(*) $k(x) = (2x-1)(-x-10)(x+2)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude des profits}, step={4}, topics={Polynôme degré 3}]
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Un usine produit chaque jours entre 0 et 50 milles masques. Une étude statistique a montré que les bénéfices pouvaient être modélisés par la fonction suivante:
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\[
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f(x) = x^3 - 96x^2+2489,25x - \np{10171,25}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $f(x) = (x-5)(x-39,5)(x-51,5)$.
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\item En déduire les racines de $f$.
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\item Étudier le signe de $f(x)$.
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\item En déduire le nombre de masque que l'entreprise doit produire pour gagner de l'argent.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Lot}, step={5}, topics={Polynôme degré 3}]
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% Inspiré de T1CMATH00290
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Un artisan produit et vend des sachets de viennoiseries. En notant, $x$ le nombre de sachets de viennoiseries ses coûts sont calculables avec la formule suivante:
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\[
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C(x) = x^3 - 120x^2 + 10x
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le coût de production pour 75 sachets.
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\item Chaque sachet est vendu 10\euro.
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\begin{enumerate}
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\item Justifier que le bénéfice se calcule alors avec la formule suivante:
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\[
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B(x) = x^3 - 120x^2
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\]
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\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $B(x)$, conjecturer puis démontrer les racines du polynômes.
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\item Démontrer que $B(x)$ peut s'écrire
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\[
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B(x) = x^2(x-120)
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\]
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\item Étudier le signe de $B(x)$.
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\item En déduire la production maximal avant que l'artisan commence à perdre de l'argent.
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\end{enumerate}
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\item Recherche du maximum des bénéfices.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
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\item Montrer que l'on peut écrire
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\[
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B'(x) = 3x(x-80)
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\]
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\item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
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\item En déduire le nombre de sachet que l'artisan doit produire pour maximiser ses bénéfices.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Population de bactéries}, step={5}, topics={Polynôme degré 3}]
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\textit{Cet exercice est un problème ouvert. C'est à dire qu'il y a de nombreuses façon d'y apporter une réponse qui pourra être plus ou moins précise. C'est à vous de choisir les outils qui vous semblent les plus pertinents puis de détailler votre démarche - qui est aussi importante que le résultat final.}
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La population de bactéries dans une solution est modélisée par la fonction suivante
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\[
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f(x) = -0,01t^3 + 4t^2 + 2t
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\]
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où $t$ représente le temps en heure depuis le début de l'expérience.
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Déterminer quand la population de bactéries va s'éteindre et quand elle aura atteint son maximum.
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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