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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Annales d'exercices sur le logarithme}
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\tribe{Terminale Tsti2d}
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\date{Janvier 2020}
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\pagestyle{empty}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude d'une fonction}]
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Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et l’unité de longueur
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est le mètre (m).
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Un ingénieur prépare un plan pour fabriquer la voile d'un petit bateau.
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La voile est représentée en gris dans le repère orthonormé ci-dessous où une unité
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représente un mètre.
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\begin{minipage}{9cm}
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$C_f$ est la représentation graphique de la fonction
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$f$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par :
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\[ f(x) = 12+ax^2+\ln(x).\]
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où $a$ est un nombre réel qui sera déterminé dans la
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partie A.
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\begin{description}
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\item S est le point de $C_f$ d’abscisse 1.
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\item A est le point de $C_f$ d’abscisse 2.
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\item B est le point de $C_f$ d’abscisse 5.
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\item D est le point d’intersection de la droite d’équation
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$x = 2$ et de la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par B.
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\end{description}
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La voile est représentée par le domaine délimité par le
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segment [AD], le segment [DB] et la courbe $C_f$.
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\end{minipage}\hfill
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\begin{minipage}[]{5.5cm}
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\includegraphics[scale=0.3]{./fig/voilure}
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\end{minipage}
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\medskip
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\textbf{Partie A}
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La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
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\begin{enumerate}
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\item On suppose que la tangente à la courbe $C_f$ au point S est horizontale.
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Que vaut $f'(1)$ ?
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\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0,1~;~+\infty[$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Exprimer $f'(1)$ en fonction de $a$.
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\item Démontrer que $a=-0,5$ .
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Niveau sonore}]
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Le niveau sonore $N$ d'un bruit, à une distance $D$ de sa source, dépend de la puissance sonore $P$ de la source. Il est donné par la relation
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\[N = 120 + 4\ln \left(\dfrac{P}{13 \times D^2}\right)\]
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où $N$ est exprimé en décibels (dB), $P$ en Watts (W) et $D$ en mètres (m).
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\textbf{Partie A}
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Les questions 1. et 2. sont indépendantes
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le niveau sonore $N$ d'un bruit entendu à $10$ mètres de la source sonore dont la puissance $P$ est égale à $2,6$~Watts. On arrondira le résultat à l'unité.
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\item On donne $N = 84$~dB et $D = 10$~m. Déterminer $P$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
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\end{enumerate}
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\textbf{Partie B}
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Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d'aménagement de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore $P$ égale à $0,026$~Watts.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Montrer qu'à une distance $D$ de la machine, le niveau sonore $N$ dû à celle-ci vérifie la relation :
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\[N = 120 + 4\ln (0,002) - 4\ln \left(D^2\right).\]
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\item Montrer qu'une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln (D)$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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Dans la suite de l'exercice, à une distance de $x$ mètres de la machine, le niveau sonore $N$ émis par la machine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,1~;~20] par :
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\[f(x) = 95,14 - 8\ln (x).\]
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\begin{enumerate}[resume]
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer une expression de $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
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\item Donner le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [0,1~;~20].
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\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,1~;~ 20].
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\end{enumerate}
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\item On suppose qu'un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine.
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La législation en vigueur l'oblige à porter des protections individuelles contre le bruit
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dès qu'un risque apparaît.
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Justifier, à l'aide du tableau ci-dessous, que l'ouvrier doit porter des protections individuelles contre le bruit.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|}
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\hline
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\textbf{Impacts sur l'audition}& \textbf{Niveaux sonores en décibels}\\
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\hline
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Aucun &[0~;~85[\\
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\hline
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Risque faible &[85~;~90[\\
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\hline
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Risque élevé &[90~;~120[\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\item Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l'entreprise sort de la zone
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de risque élevé (c'est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à $90$~dB).
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\end{enumerate}
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\textbf{Partie C}
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\medskip
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On s'intéresse au lien entre la puissance $P$ d'un bruit et la distance $D$ de sa source pour différentes valeurs de son niveau sonore $N$.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.4]{./fig/graph_sonore}
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\end{center}
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\medskip
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On admet que pour une puissance de $0,02$ Watt, le niveau sonore du bruit est de $74,9$ décibels à une distance de $11$~mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées $(0,02; 11)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{N=74,9}$.
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\begin{enumerate}
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\item Pour un bruit de puissance $P$ égale à $0,06$ W, déterminer graphiquement à quelles distances minimale et maximale de la source peut se situer une personne pour que le
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niveau sonore $N$ soit compris entre $85$ et $90$ dB.
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\item Pour une source sonore située à une distance $D$ de $8$~m, déterminer graphiquement les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre $74,9$~dB et $79,8$~dB.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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