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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage[linesnumbered, boxed, french]{algorithm2e}
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\title{Banque exercices - Suites}
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\tribe{Terminale Sti2d}
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\date{Septembre 2019}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Profilé d'aluminium}]
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Une unité de production fabrique des profilés d'aluminium. En 2009, la production annuelle a été de \np{5000} unités.
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On fait l'hypothèse que chaque année, la production augment de 4\%.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la production pour les années 2010 et 2011.
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\item On note $(P_n)$ la suite qui modélise la production. Quelle est la nature de cette suite? Quels sont les éléments caractéristiques? Exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
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\item Quelle est la production total de cette unité entre 2009 et 2015?
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\item Écrire un algorithme permettant de déterminer l'année où la production dépassera \np{40000} unités.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Aquarium}]
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% Ex 2 2018 Métropole
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Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient $280$ litres d'eau et des poissons.
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Par évaporation, le volume d'eau dans l'aquarium diminue de 2\,\% par semaine. Compte tenu
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du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum $240$~litres
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d'eau.
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\bigskip
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\textbf{Partie A}
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d'une semaine ?
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\item Est-il vrai qu'au bout de deux semaines, exactement 4\,\% du volume d'eau initial se
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seront évaporés ? Justifier.
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\item Déterminer au bout de combien de semaines le volume d'eau dans l'aquarium deviendra
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insuffisant.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, $5$~litres d'eau pour compenser l'évaporation hebdomadaire de 2\,\%.
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On note $u_0$ le volume initial d'eau en litres dans l'aquarium. Ainsi $u_0 = 280$.
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Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $u_n$ le volume d'eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l'ajout hebdomadaire des $5$ litres d'eau.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Vérifier que $u_2 = 278,812$.
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\item Justifier que pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+ 1} = 0,98 u_n + 5$.
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\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.
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\item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $k$ désigne un nombre entier naturel
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et $U$ un nombre réel.
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
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$U \gets 280$\\
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Pour $k$ allant de $1$ à \ldots\\
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\hspace{0.9cm}$U \gets \ldots$\\
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Fin Pour\\ \hline
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\end{tabularx}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Recopier et compléter l'algorithme pour qu'à la fin de son exécution, la variable $U$ contienne $u_6$.
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\item Quel est le volume d'eau dans l'aquarium, en litres à $10^{-2}$ près, $6$ semaines après son installation immédiatement après l'ajout hebdomadaire des $5$ litres d'eau?
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\end{enumerate}
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\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 250$.
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On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $v_0$.
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\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
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\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 30 \times 0, 98^n + 250$.
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\item Justifier que la préconisation concernant le volume d'eau dans l'aquarium est
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respectée.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Algorithme de Babylone}]
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On considère l'algorithme suivant:
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{algorithm}[H]
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\SetAlgoLined
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\Entree{a}
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\Deb{
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$u \leftarrow a/2$ \;
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\Pour{$n$ de 1 à 3}{
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$u \leftarrow (u + a/u)/2$ \;
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}
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}
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\end{algorithm}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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\begin{enumerate}
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\item Faire fonctionner cet algorithme pour $a=2$ en fournissant toutes les valeurs prises par $u$.
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\item Même question pour $a=3$.
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\item Récrire l'algorithme pour faire varier $n$ de 1 à 10. Vers quelle valeur semble tendre $u$ quand $n$ grandit?
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\item Modifier l'algorithme pour qu'il s'arrête quand $|u-1.41|<10^{-6}$.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\end{document}
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