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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{tasks}
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\usepackage{myXsim}
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\title{DS 4}
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\tribe{Terminale STI2D}
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\date{18 décembre 2019}
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\duree{1 heure}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
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\begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=4]
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\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'ajoutent ni ne retirent aucun point.\\
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Inscrire sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
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Aucune justification n'est demandée.}
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\begin{enumerate}
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\item Le nombre $-3$ est solution de l'équation
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\begin{tasks}(4)
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\task $\ln(x) = -\ln(3)$
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\task $\ln(e^{x}) = -3$
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\task $e^{ln(x)} = 3$
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\task $e^x = 3$
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\end{tasks}
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\item Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $\intFF{2}{12}$. $P(X\geq 5)$ est égale à
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\begin{tasks}(4)
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\task $\dfrac{1}{2}$
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\task $\dfrac{3}{10}$
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\task $\dfrac{5}{12}$
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\task $\dfrac{5}{7}$
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\end{tasks}
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\item $(4i-2)(3i+1)$ est égale à
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\begin{tasks}(4)
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\task $-14 - 2i$
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\task $10i - 2$
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\task $10 - 2i$
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\task $10 - 10i$
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\end{tasks}
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\item La forme factorisée de $xe^{-0.2x} - (3+2x)e^{-0.2x}$ est
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\begin{tasks}(4)
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\task $(-3+3x)e^{-0.2x}$
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\task $2e^{-0.2x}(-3+3x)$
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\task $(-3+x)e^{-0.2x}$
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\task $2e^{-0.2x}$
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\end{tasks}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Température intérieur}, points=12]
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En plein hiver, en Europe, une maison est chauffée à $20^{o}$C.
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La température extérieure est notée $T$ . Dans tout l'exercice, on suppose que $T < 20$ . Température intérieure initiale $20^{o}$C
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Lorsque le chauffage est coupé, la température intérieure diminue par perte de chaleur.
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On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ dont le terme général $u_n$ désigne la température intérieure de la maison $n$ heures après la coupure du chauffage.
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Pour une maison en maçonnerie traditionnelle et une température extérieure $T$ constante, on admet que, pour tout entier naturel $n$ :
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\[u_{n+1} = 0,99 u_n + \dfrac{T}{100}\quad \text{et} \quad u_0 = 20.\]
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Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
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\textbf{Partie A}
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On suppose que la température extérieure $T$ est égale à 0~\degres C. On a donc $T = 0$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.
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\item Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
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%\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
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\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Justifier.
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\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n < 5$. En déduire le nombre de jours à partir duquel la température intérieure est descendue en dessous de 5~\degres C.
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\end{enumerate}
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\textbf{Partie B}
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On suppose que la température extérieure $T$ est égale à $-10$~\degres C. On a donc $T = - 10$.
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par:
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\[u_{n+1} = 0,99 u_n - 0,10 \quad \text{et }\: u_0 = 20.\]
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.
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\item Dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
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\item On définit $(v_n)$ par $v_n = u_n + 10$. Démontrer que l'on a alors
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\[
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v_{n+1} = 0.99 v_n
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\]
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\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$? Quels sont les éléments caractéristiques?
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\item Exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$.
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\item En déduire que
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\[
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u_n = 30\times 0.99^n - 10
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\]
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\item Quelle est la limite de $u_n$?
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\end{enumerate}
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\item ~
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\parbox{0.73\linewidth}{%
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On souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, le nombre d'heures à partir duquel la température intérieure devient strictement inférieure à $5$~\degres C. On utilise pour cela l'algorithme incomplet ci-contre dans lequel $U$ désigne un nombre réel et $N$ un nombre entier naturel.%
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\medskip
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Recopier et compléter l'algorithme.
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}\hfill
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\parbox{0.25\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
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$U \gets 20$\\
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$N \gets 0$\\
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Tant que \ldots\\
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\hspace{0.4cm} $U \gets \ldots$\\
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\hspace{0.4cm} $N \gets \ldots$\\
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Fin Tant que \\ \hline
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\end{tabularx}}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Système de climatisation}, points=3]
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Dans cet exercice, on s'intéresse aux batteries des voitures électriques. La charge (énergie restituable) est exprimée en kilowattheure.
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Conformément à l'usage commercial, on appelle capacité la charge complète d'une batterie.
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On dispose des renseignements suivants :
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\framebox{%
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\textbf{Document 1:\\ Caractéristiques des bornes de recharge}
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{\small
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\begin{tabular}{|*{3}{p{1.3cm}|}}
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\hline
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Recharge & Tension (V) & Intensité (A)\\
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\hline
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Normal & 230 & 16 \\
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\hline
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Semi-rapide & 400 & 16\\
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\hline
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Rapide & 400 & 63\\
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\hline
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\end{tabular}
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}
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\end{minipage}}
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\hfill
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\framebox{%
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\textbf{Document 2: \\
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Exemple de capacités de batterie}
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{\small
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\begin{itemize}
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\item Marque A: 22kWh
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\item Marque B: 24kWh
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\item Marque C: 33kWh
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\item Marque D: 60kWh
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\end{itemize}
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}
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\end{minipage}}
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\hfill
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\framebox{%
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\textbf{Document 3: \\Bon à savoir pour une batterie vide}
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{\small
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Après 50\% de temps de charge complète, la batterie est à environ 80\% de sa capacité de charge
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}
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\end{minipage}}
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\begin{enumerate}
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\item La puissance de charge P d'une borne de recharge, exprimée en Watt (W), s'obtient en multipliant sa tension U, exprimée en Volt (V), par son intensité I, exprimée en Ampère (A).
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Dans la pratique, on considère que le temps T de charge complète d'une batterie vide, exprimé en heure (h), s'obtient en divisant la capacité C de la batterie, exprimée usuellement en kilowattheure (kWh), par la puissance de charge P de la borne de recharge exprimée en kilowatt (kW).
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On considère une batterie de la marque D.
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Déterminer le temps de charge complète de cette batterie sur une borne de recharge \og Rapide \fg. Exprimer le résultat en heures et minutes.
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\item Lors du branchement d'une batterie vide de marque A sur une borne de recharge de type \og Normal \fg, la charge (en kWh) en fonction du temps (en heure) est modélisée par une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$:
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\[ f(t) = -22 e^{-0.55t} + 22 \]
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\begin{enumerate}
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\item On a tracer la courbe représentative de $f$ ci-contre.
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Quelle semble être la limite de $f$ quand $x$ tend vers plus l'infini?
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\item La durée de demi-charge est le temps nécessaire pour que la batterie soit chargée à 50\,\%. Résoudre sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $f(t) = 11$ et en déduire la durée d'une demi-charge, exprimée en heure et minute.
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\item (bonus) Dans la pratique, on considère que le temps de charge complète de ce type de batterie est d'environ 6 heures.
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Vérifier l'affirmation 3
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.4, xscale=.4]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=12,xstep=1,
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ymin=0,ymax=26,ystep=2]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY%[up space=0.5,right space=.5]
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\tkzFct[domain = 0:12, line width=1pt]{-22*exp(-0.55*x)+22}
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\tkzText[draw,fill = brown!20](8,15){$f(x)$}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{minipage}
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|
\hfill
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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