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TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{tasks}
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\usepackage{myXsim}
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\title{DM 1 -- GAUDARD Camille}
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\tribe{Terminale ES-L}
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\date{15 novembre 2019}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
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\begin{exercise}[subtitle={Débit}]
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Une commune de \np{1600} habitants au 1\up{er} janvier 2018 voit sa population augmenter de 7\,\% tous les ans.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$.
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\smallskip
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la nature de la suite $(h_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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\smallskip
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La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de \np{11200}~Mbit/s au 1\up{er} janvier 2018 et à augmenter ce débit de 0.4900\,\% par an.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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\item Déterminer la nature de la suite $(d_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle.
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Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$ et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{2}
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\item Calculer $u_0$ et $u_1$.
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\item Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = 7 \times 0.93^n$.
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\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques.
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\item Déterminer le sens de variations de la $\left(u_n\right)$.
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Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
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\end{enumerate}
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Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{6}
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\item En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Augmenter de 7\% revient à multiplier pas 1.07. La suite $(h_n)$ est donc géométrique de raison 1.07 et de premier terme 1600. On en déduit $h_n$ en fonction de $n$
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\[
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h_n = 1600\times 1.07^n
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\]
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\item Augmenter de 0.4900\% revient à multiplier pas 0.9951. La suite $(d_n)$ est donc géométrique de raison 0.9951 et de premier terme 11200. On en déduit $d_n$ en fonction de $n$
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\[
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d_n = 11200\times 0.9951^n
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\]
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\item
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\begin{enumerate}
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\item
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\[
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u_0 = \frac{d_0}{h_0} = \frac{11200}{1600} = 7
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\]
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\[
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u_1 = \frac{d_1}{h_1} = \frac{11145.1200}{1712} = 6.51
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\]
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\item Démonstration de la formule
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\begin{eqnarray*}
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u_n &=& \frac{d_n}{h_n} = \frac{11200\times0.9951^n}{1600\times1.07^n} \\
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u_n &=& \frac{11200}{1600}\times\left(\frac{0.9951}{1.07}\right)^n \\
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u_n &=& 7\times0.93^n
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\end{eqnarray*}
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\item On reconnaît la forme d'une suite géométrique de raison 0.93 et de premier terme 7.
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\item La raison, $q = 0.93$, est inférieur à 1 donc la suite est décroissante. Ce qui signifie que le débit par habitant va diminuer.
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\end{enumerate}
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\item Avec le tableau de la calculatrice, on calculer les valeurs de $u_n$ jusqu'à passer en dessous de 5. On trouve $n = 5$ avec $u_{5} = 4.8698185851$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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\section*{Partie A}
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Dans cette partie, on étudie la fonction
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\[
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f(x) = - 4x^2 - 10x - 3
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la dérivé de $f$.
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\item Étudier le signe de la dérivée $f'$ puis en déduire le tableau de signe de $f$.
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\end{enumerate}
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\section*{Partie B}
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Dans cette partie, on étudie la fonction
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\[
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g(x) = - x^3 - 8x^2 - 5x - 9
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\]
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\begin{enumerate}
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\item À l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur, tracer puis reporter sur votre copie la représentation graphique de $g$ en y indiquant les informations remarquables de ce graphique.
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\item Sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe? concave? Y a-t-il des points d'inflexions?
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\item Calculer la dérivé de $g$.
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\item Étudier le signe de la dérivée $g'$ puis en déduire le tableau de variations de $g$.
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\item Déterminer l'équation de la tangente en $x=0$.
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\item Dériver $g'$ pour calculer $g''$.
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\item Étudier le signe de $g''$ pour en déduire la convexité de $g$ grâce au calcul puis localiser précisément le point d'inflexion.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\section*{Partie A}
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\begin{enumerate}
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\item $- 10 - 8x$
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\item Correction non disponible
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\end{enumerate}
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\section*{Partie B}
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\begin{enumerate}
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\item Correction non disponible
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\item Correction non disponible
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\item $g'(x) = - 5 - 16x - 3x^2$
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\item
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On commence par calculer le discriminant de $g'(x)=- 5 - 16x - 3x^2$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Delta & = & - 16^{2} - 4 \times - 3 \times - 5 \\
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\Delta & = & 256 + 12 \times - 5 \\
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\Delta & = & 256 - 60 \\
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\Delta & = & 196
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\end{eqnarray*}
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comme $\Delta = 196 > 0$ donc $P$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- 16 - \sqrt{196}}{2 \times - 3} = - 0.3333333333333333 \\
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x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- 16 + \sqrt{196}}{2 \times - 3} = - 5
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\end{eqnarray*}
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Ainsi, $g'$ est du signe de $a=- 3$ en dehors des racines.
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Le tableau de variation non disponible en correction
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\item Équation de la tangente: $y = - 5x + - 9$
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\item $g''(x) = - 6x - 16$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{document}
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