158 lines
6.6 KiB
TeX
158 lines
6.6 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{tasks}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
\title{DM 1 -- MENARD Cassandre}
|
|
\tribe{Terminale ES-L}
|
|
\date{15 novembre 2019}
|
|
|
|
\xsimsetup{
|
|
solution/print = false
|
|
}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\maketitle
|
|
|
|
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Débit}]
|
|
Une commune de \np{1700} habitants au 1\up{er} janvier 2018 voit sa population augmenter de 5\,\% tous les ans.
|
|
|
|
Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$.
|
|
|
|
\smallskip
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Déterminer la nature de la suite $(h_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\smallskip
|
|
|
|
La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de \np{13600}~Mbit/s au 1\up{er} janvier 2018 et à augmenter ce débit de - 0.8000\,\% par an.
|
|
|
|
Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$.
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\setcounter{enumi}{1}
|
|
\item Déterminer la nature de la suite $(d_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle.
|
|
|
|
Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$ et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\setcounter{enumi}{2}
|
|
\item Calculer $u_0$ et $u_1$.
|
|
\item Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = 8 \times 0.96^n$.
|
|
\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques.
|
|
\item Déterminer le sens de variations de la $\left(u_n\right)$.
|
|
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
|
|
\end{enumerate}
|
|
Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau.
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\setcounter{enumi}{6}
|
|
\item En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie?
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Augmenter de 5\% revient à multiplier pas 1.05. La suite $(h_n)$ est donc géométrique de raison 1.05 et de premier terme 1700. On en déduit $h_n$ en fonction de $n$
|
|
\[
|
|
h_n = 1700\times 1.05^n
|
|
\]
|
|
\item Augmenter de - 0.8000\% revient à multiplier pas 1.0080. La suite $(d_n)$ est donc géométrique de raison 1.0080 et de premier terme 13600. On en déduit $d_n$ en fonction de $n$
|
|
\[
|
|
d_n = 13600\times 1.0080^n
|
|
\]
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\[
|
|
u_0 = \frac{d_0}{h_0} = \frac{13600}{1700} = 8
|
|
\]
|
|
\[
|
|
u_1 = \frac{d_1}{h_1} = \frac{13708.8000}{1785} = 7.68
|
|
\]
|
|
\item Démonstration de la formule
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
u_n &=& \frac{d_n}{h_n} = \frac{13600\times1.0080^n}{1700\times1.05^n} \\
|
|
u_n &=& \frac{13600}{1700}\times\left(\frac{1.0080}{1.05}\right)^n \\
|
|
u_n &=& 8\times0.96^n
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
\item On reconnaît la forme d'une suite géométrique de raison 0.96 et de premier terme 8.
|
|
\item La raison, $q = 0.96$, est inférieur à 1 donc la suite est décroissante. Ce qui signifie que le débit par habitant va diminuer.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Avec le tableau de la calculatrice, on calculer les valeurs de $u_n$ jusqu'à passer en dessous de 5. On trouve $n = 12$ avec $u_{12} = 4.901678058638138910179328$
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
|
\section*{Partie A}
|
|
Dans cette partie, on étudie la fonction
|
|
\[
|
|
f(x) = - 6x^2 + 9x + 10
|
|
\]
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Calculer la dérivé de $f$.
|
|
\item Étudier le signe de la dérivée $f'$ puis en déduire le tableau de signe de $f$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\section*{Partie B}
|
|
Dans cette partie, on étudie la fonction
|
|
\[
|
|
g(x) = 9x^3 - 6x^2 - 2x + 7
|
|
\]
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item À l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur, tracer puis reporter sur votre copie la représentation graphique de $g$ en y indiquant les informations remarquables de ce graphique.
|
|
\item Sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe? concave? Y a-t-il des points d'inflexions?
|
|
\item Calculer la dérivé de $g$.
|
|
\item Étudier le signe de la dérivée $g'$ puis en déduire le tableau de variations de $g$.
|
|
\item Déterminer l'équation de la tangente en $x=0$.
|
|
\item Dériver $g'$ pour calculer $g''$.
|
|
\item Étudier le signe de $g''$ pour en déduire la convexité de $g$ grâce au calcul puis localiser précisément le point d'inflexion.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
\begin{solution}
|
|
\section*{Partie A}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $9 - 12x$
|
|
\item Correction non disponible
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\section*{Partie B}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Correction non disponible
|
|
\item Correction non disponible
|
|
\item $g'(x) = - 2 - 12x + 27x^2$
|
|
\item
|
|
On commence par calculer le discriminant de $g'(x)=- 2 - 12x + 27x^2$.
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
|
\Delta & = & - 12^{2} - 4 \times 27 \times - 2 \\
|
|
\Delta & = & 144 - 108 \times - 2 \\
|
|
\Delta & = & 144 + 216 \\
|
|
\Delta & = & 360
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
comme $\Delta = 360 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
|
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- 12 - \sqrt{360}}{2 \times 27} = - 0.12914196224093105 \\
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- 12 + \sqrt{360}}{2 \times 27} = 0.5735864066853755
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
Ainsi, $g'$ est du signe de $a=27$ en dehors des racines.
|
|
|
|
|
|
Le tableau de variation non disponible en correction
|
|
\item Équation de la tangente: $y = - 2x + 7$
|
|
\item $g''(x) = 54x - 12$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|
|
%%% Local Variables:
|
|
%%% mode: latex
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
|
%%% End:
|