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TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{tasks}
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\usepackage{myXsim}
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\title{DM 2 -- URPIN Flora}
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\tribe{Terminale ES-L}
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\date{9 mars 2020}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}]
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On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0~;~16]$ par:
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\[f(x) = \np{3000}(x + 4)\text{e}^{- 0.25x}.\]
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\textbf{Partie A - Étude graphique}
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On a représenté sur le graphique en annexe, la courbe représentative de la fonction $f$.
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\begin{enumerate}
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\item Avec un tableur tracer et imprimer la courbe représentative de $f$ sur $I$
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\end{enumerate}
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\emph{Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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\item Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation $f(x) = \np{6000}$.
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\item Donner un encadrement de la quantité
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\[
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\int_{2}^{8} f(x) \; dx
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\]
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Vous expliquerez votre démarche en utilisant le graphique.
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\end{enumerate}
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\medskip
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\textbf{Partie B - Étude théorique}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{4}
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\item Étude des variations.
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\begin{enumerate}
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\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\intFF{0}{16}$.
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Démontrer que pour tout $x$ de $\intFF{0}{20}$ , $f'(x) = - 750x\text{e}^{-0.25x}$.
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\item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur l'intervalle $\intFF{0}{16}$. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans le tableau.
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\item Démontrer que l'équation $f(x) = \np{6000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intFF{0}{16}$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l'aide de la calculatrice.
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\end{enumerate}
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\item Étude de la convexité
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\begin{enumerate}
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\item On note $f''$ la dérivée seconde de $f$ sur $\intFF{0}{16}$.
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Démontrer que pour tout $x$ de $\intFF{0}{20}$ , $f''(x) = (187.50x-750)\text{e}^{-0.25x}$.
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\item Démontrer que $f$ admet un point d'inflexion dont on donnera son abscisse.
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\end{enumerate}
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\item Aire sous la courbe
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\begin{enumerate}
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\item On souhaite approximer la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ par la droite $D$ qui relie les points $(0;f(0))$ et $(16, f(16))$. Tracer cette droite sur le graphique.
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\item On note $g$ la fonction affine qui décrit cette droite $D$. Détermine l'expression de $g$
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\item Calculer $\displaystyle \int_0^{16} g(x)\; dx$
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\item Avec la calculatrice, calculer une valeur approchée de $\displaystyle\int_{0}^{16} f(x) \; dx$
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\item Comparer les valeurs trouvées aux deux questions précédentes. Comment s'explique l'écart entre ces deux valeurs?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\medskip
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\textbf{Partie C - Application économique}
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Une entreprise a pris la décision de fermer son usine de production de smartphones en 16 mois.
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La fonction capacité de production de cette usine est modélisée sur l'intervalle $\intFF{0}{16}$ par la fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.
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Le nombre $x$ représente le temps en mois après la décision de la fermeture du site et le nombre $f(x)$ représente capacité production de smartphone au moment $x$.
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Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes:
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{7}
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\item Combien de smartphones pouvaient être produit à la fermeture de l'usine?
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\item Pendant combien de temps la capacité de production de l'usine a réussi à se maintenir au dessus de \np{6000}?
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\item Combien de smartphones ont pu être produit entre la prise de décision et la fermeture de l'usine?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=0.9375]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=17,xstep=1,
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ymin=0,ymax=15000,ystep=1000]
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\tkzGrid
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\tkzGrid[sub, subxstep=0.2, subystep=200.0]
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
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\tkzFct[domain = 0:16, line width=1pt]{3000*(x+4)*exp(-0.25*x)}
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%M\tkzFct[domain = 0:16, line width=1pt, blue]{6000}
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\end{tikzpicture}
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\item Tracer la droite $y=6000$. C'est l'abscisse de l'intersection entre cette droite et la courbe
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\item
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\item
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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