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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Dérivation d'une composée avec l'exponentielle}
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\tribe{Terminale ES}
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\date{Janvier 2020}
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\pagestyle{empty}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Métropole Juin 2018}]
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On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$ par
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\[f(x) = (2x+1)e^{-2x}+3.\]
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On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in [-2~;~4]$,
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\[f'(x)=-4xe^{-2x}.\]
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\item Étudier les variations de $f$.
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\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[-2~;~0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
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\item On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. On admet que, pour tout $x\in [-2~;~4]$,
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\[f''(x)=(8x-4)e^{-2x}.\]
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\begin{enumerate}
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\item Étudier le signe de $f''$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$.
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\item En déduire le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Polynésie Juin 2018}]
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Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un nouveau produit B afin d'augmenter son chiffre d'affaires. La quantité, exprimée en tonnes, fabriquée par jour par l'usine est modélisée par :
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\begin{multicols}{2}
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\begin{itemize}
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\item la fonction $f$ définie sur [0~;~14] par
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\[f(x) = \np{2000}\text{e}^{-0,2x}\]
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pour le produit A ;
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\item la fonction $g$ définie sur [0~;~14] par
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\[g (x)= 15x^2 + 50 x\]
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pour le produit B
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\end{itemize}
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\end{multicols}
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Où $x$ est la durée écoulée depuis le lancement du nouveau produit B exprimée en mois.
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\textbf{Partie A}
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Leurs courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-contre.
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Par lecture graphique, sans justification et avec la précision permise par le graphique :
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la durée nécessaire pour que la quantité de produit B dépasse celle du produit A.
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\item L'usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit B supérieure à \np{3000}~tonnes.
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Au bout de combien de mois cette quantité journalière sera atteinte?
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.3]{./fig/produit1B}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~14] on pose $h(x) = f(x) + g(x)$.
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On admet que la fonction $h$ ainsi définie est dérivable sur [0~;~14].
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Que modélise cette fonction dans le contexte de l'exercice ?
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\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~14]
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$h'(x) = - 400\text{e}^{-0,2x} + 30x + 50$.
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\end{enumerate}
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\item ~\\
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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On admet que le tableau de variation de la fonction $h'$ sur l'intervalle [0~;~14] est :
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\begin{enumerate}
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\item Justifier que l'équation $h'(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~14] et donner un encadrement d'amplitude $0,1$ de $\alpha$.
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\item En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~14].
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[lgt=1,espcl=4]{$x$/1,$h'(x)$/2}{$0$, $14$}
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\tkzTabVar{-/ $-350$, +/ $h'(14) \approx 446$ }
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\item Voici un algorithme :
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\begin{minipage}{0.55\textwidth}
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\begin{enumerate}
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\item Si la variable $X$ contient la valeur 3 avant l'exécution de cet algorithme, que contient la variable $X$ après l'exécution de cet algorithme ?
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\item En supposant toujours que la variable $X$ contient la valeur $3$ avant l'exécution de cet algorithme, modifier l'algorithme de façon à ce que X contienne une valeur approchée à $0,001$ près de $\alpha$ après l'exécution de l'algorithme.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.35\textwidth}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
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$Y \gets -400 \,\text{exp}(- 0,2X) + 30X + 50$\\
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Tant que $Y \leqslant 0$\\
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\hspace{0.7cm}$X \gets X + 0,1$\\
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\hspace{0.7cm}$Y \gets -400 \,\text{exp}(- 0,2X)+ 30X +50$\\
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Fin Tant que\\ \hline
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\end{tabularx}
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\end{minipage}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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