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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Polynômes du 2e degré - Association}
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\tribe{1ST}
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\date{Mars 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\arediger{Un exercice parmi les 3 suivants. Les 3 exercices ne sont pas d'une difficulté équivalente, à vous d'en choisir un qui correspond à votre niveau.}
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\begin{exercise}[subtitle={Basic}]
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On définit la fonction $f$ sur $\R$ par
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\[
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f(x) = -0,1x^2 -0,3x +1,8
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer l'image de 3 et interpréter le résultat.
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\item Démontrer que -6 est une racine de $f$.
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\item Démontrer que l'on a $f(x) = -0,1(x-3)(x+6)$.
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\item Tracer le tableau de signe de $f$.
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\item Dériver la fonction $f$.
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\item En déduire le tableau de variations de $f$.
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\item Déterminer les coordonnées du sommet de la représentation graphique de $f$.
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\item Tracer l'allure de la représentation graphique.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Moyen}]
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\begin{enumerate}
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\item On considère la fonction polynôme $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = -3(x+1)(x-5)$ et $(P)$ la parabole représentant cette fonction.
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\begin{enumerate}
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\item Donner les 2 racines de $f$
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\item Développer $f$
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\item Déterminer les coordonnées du sommet $S$ de la parabole $(P)$.
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\item Dresser le tableau de signe de $f$.
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\item Parmi les représentations graphiques ci-dessous laquelle correspond à $(P)$? Justifier.
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\hspace{-2cm}
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\begin{tabular}{ccc}
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\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.6]
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\tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=30,ystep=2]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{-3*(x+1)*(x-5)}
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\end{tikzpicture}
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&
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\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.6]
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\tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
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ymin=-30,ymax=5,ystep=2]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{3*(x+1)*(x-5)}
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|
\end{tikzpicture}
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|
&
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\begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=0.6]
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\tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=20,ystep=2]
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|
\tkzGrid
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|
\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{-3*(x+1)*(x-4)}
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\end{tikzpicture}
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\\
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courbe 1 & Courbe 2 & Courbe 3
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\end{tabular}
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\end{enumerate}
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\item Résoudre l'équation $f(x) < 15$
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\pagebreak
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\begin{exercise}[subtitle={Intéressant}]
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Une entreprise commercialise des fruits en conserve. Elle en produit entre 0 et 13 tonnes par mois et vend l'intégralité de sa production.
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On note $x$ la production en tonne de fruits et on définit:
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\begin{itemize}
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\item La fonction $C(x)$ qui modélise les coûts de production
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\[
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C(x) = x^3 - 15 x^2 + 75x
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\]
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\item La fonction $R(x)$ qui modélise les recettes
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\[
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R(x) = 36,75x
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\]
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\end{itemize}
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer les coûts puis les recettes pour une production de 8,5tonnes.
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\item La fonction $B(x)$ modélise les bénéfices de l'entreprise. C'est à dire la différence entre les recettes et les coûts
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\[
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B(x) = R(x) - C(x)
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\]
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L'entreprise fait-elle des bénéfices quand elle produit 8,5tonnes?
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\item Démontrer que $B(x) = -x^3 +15x^2 - 38,25x$
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\item On note $B'$ la dérivée de $B$. Démontrer que $B'(x) = -3x^2 + 30x - 38,25$.
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\item Démontrer que $x=8,5$ et $x=1,5$ sont deux racines de $B'(x)$.
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\item En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
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\item En déduire le tableau de signe de $B'(x)$
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\item En déduire le tableau de variation de $B(x)$
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\item Pour quelle quantité de fruit produit, l'entreprise fait-elle un maximum de profit?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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