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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage[inline]{enumitem}
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\usepackage{tasks}
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% Title Page
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\title{DS 1}
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\tribe{Terminale ES-L}
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\date{25 septembre 2019}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
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\begin{exercise}[subtitle={QCM},points=3]
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\textit{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).}
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\textit{Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la
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question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point,
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une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne
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rapporte aucun point.}
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la meilleure remise?
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\begin{tasks}(3)
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\task Une remise de 20\%
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\task Trois remises de 7\%
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\task Quatre remises de 6\%
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\end{tasks}
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\item La suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et par la formule de récurrence $u_{n+1} = 3u_n + 2u_n$ est
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\begin{tasks}(3)
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\task Arithmétique
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\task Géométrique
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\task Ni géométrique ni Arithmétique
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\end{tasks}
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\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathcal{U}([2, 11])$. Alors $P(X>5,5)$ est égale à
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\begin{tasks}(3)
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\task 0,5
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\task 5,5
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\task 8
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\end{tasks}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\textit{Les réponses suivantes sont justifiées ce qui n'est pas demandé dans ce QCM.}
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\begin{enumerate}
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\item Réponse c) Quatre remises de 6\%.
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\begin{enumerate}
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\item Une remise de 20\% revient à multiplier par $0.8$
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\item Trois remises de 7\% revient à multiplier par $(1-0.07)^3 = 0.93^3 \approx 0.804$
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\item Quatre remises de 6\% revient à multiplier par $(1 - 0.06)^4 = 0.94^4 \approx 0.78$
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\end{enumerate}
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\item Réponse b) Géométrique
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En effet, $u_{n+1} = 3u_n+2u_n = 5u_n$, pour passer d'un terme au suivant on multiplie par 5.
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\item Réponse a) 0.5
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Les deux autres réponses ne sont pas des probabilités car 5,5 et 8 ne sont pas des nombres compris entre 0 et 1.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Un peu de hasard},points=5]
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\textit{Les questions suivants sont indépendantes}
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\begin{enumerate}
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\item Après une tétée, un bébé dort 30min puis peut demander à manger à n'importe quel moment dans les 3 heures qui suivent. Lucas a terminé de téter à 9h.
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On note $X$ la variable aléatoire décrivant l'heure où Lucas va demander à nouveau à manger.
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\begin{enumerate}
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\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$?
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\item Calculer $P(X<11)$.
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\item Sa maman veut partir faire des courses entre 10h30 et 11h45. Quelle est la probabilité que Lucas réclame pendant son absence?
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\end{enumerate}
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\item La masse en gramme des melons d'un maraîcher est modélisée par une variable aléatoire M qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [850;x] avec x>1200. On constate que 75\% des melons du maraîcher ont une masse comprise entre 900 g et 1200 g. Déterminer x.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item $X$ peut suivre une loi uniforme sur $\intFF{9,5}{12,5}$ notée $\mathcal{U}(\intFF{9.5}{12.5})$.
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\item $P(X>11) = \dfrac{12,5 - 11}{12,5 - 9,5} = \dfrac{1,5}{3} = 0,5$
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\item Cette probabilité revient à calculer $P(10,5 < X < 11,75) = \dfrac{1,25}{3} \approx 0.42$
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\end{enumerate}
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\item On cherche à déterminer $x$ tel que
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\begin{eqnarray*}
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0,75 &=& P(900 < M < 1200) = \dfrac{1200 - 900}{x - 850} \\
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0.75 (x -850) &=& 300 \\
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0.75 x - 637.5 &=& 300 \\
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0.75 x &=& 937.5 \\
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x &=& \dfrac{937.5}{0.75} = 1250
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\end{eqnarray*}
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Donc $M$ suit la loi $\mathcal{U}(\intFF{850}{1250})$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\pagebreak
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\begin{exercise}[subtitle={Pollution de l'air},points=5]
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\textit{Dans cette question l'utilisation des outils et des notations mathématiques sera valorisée même si elle n'est pas obligatoire.}
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Afin de respecter l'accord signé sur la pollution de l'air, certaines entreprises, dès l'année 2014, ont été contraintes de diminuer chaque année la quantité de CO$_2$ qu'elles produisent.
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Une de ces entreprises émettait $15$ milliers de tonnes de CO$_2$ en 2014 et $14,7$ milliers de
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tonnes en 2015.
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On suppose que le taux de diminution annuel de CO$_2$ émis restera constant pendant les années suivantes.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le taux d'évolution de l'émission de CO$_2$ par cette entreprise entre 2014 et 2015.
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\item L'accord prévoit que cette entreprise devra produire moins de $12$ milliers de tonnes de CO$_2$ par an. En détaillant la méthode employée, déterminer à partir de quelle année la
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quantité de CO$_2$ émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de $12$~milliers
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de tonnes.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Taux d'évolution entre 2014 et 2015.
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\[
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\dfrac{v_a - v_d}{v_d} = \dfrac{14.7 - 15}{15} = -0.02 = -2\%
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\]
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\item On peut modéliser la quantité émise par l'entreprise avec une suite $(u_n)$. Comme le taux de diminution est supposé constant et égale à -2\%, elle sera géométrique, de raison $1 - 0.02 = 0.98$ et aura pour premier terme $u_0 = 15$.
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\begin{eqnarray*}
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u_0 &=& 15 \\
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u_1 &=& u_0\times 0.98 = 15\times 0.98 = 14.7 \\
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u_2 &=& 14.70 \times 0.98 = 14.41 \\
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u_3 &=& 14.41 \times 0.98 = 14.12 \\
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u_4 &=& 14.12 \times 0.98 = 13.84 \\
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u_5 &=& 13.84 \times 0.98 = 13.56 \\
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u_6 &=& 13.56 \times 0.98 = 13.29 \\
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||
u_7 &=& 13.29 \times 0.98 = 13.02 \\
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u_8 &=& 13.02 \times 0.98 = 12.76 \\
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u_9 &=& 12.76 \times 0.98 = 12.51 \\
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u_{10} &=& 12.51 \times 0.98 = 12.26 \\
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u_{11} &=& 12.26 \times 0.98 = 12.01 \\
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u_{12} &=& 12.01 \times 0.98 = 11.77 \\
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\end{eqnarray*}
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Il faudra attendre 12 années soit 2026.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Pyrale du buis},points=7]
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% Ex 2 - 2019 Liban
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La Pyrale du buis est une espèce de lépidoptères de la famille des Crambid\ae, originaire d'Extrême-Orient.
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Introduite accidentellement en Europe dans les années 2000, elle y est devenue invasive. Une étude décomptant le nombre de chenilles de Pyrale dans un camping d'Ardèche donne les estimations suivantes:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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Date & 01/06/18 & 02/06/18 & 03/06/18\\
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\hline
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$n$ & 0 & 1 & 2 \\
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\hline
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Nombre de chenilles en centaines & 97 & 181 & 258\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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L'exercice étudie et compare deux modélisations de l'évolution du nombre de chenilles.
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\begin{flushleft}
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\textbf{Partie 1:} \emph{Modèle 1}
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\end{flushleft}
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Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le 1\ier{} juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q=1,63$. Ainsi $u_0=97$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $u_2$. Arrondir à l'unité.
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\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
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\item Justifier que la suite $(u_n)$ est croissante.
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\item Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018? Arrondir à la centaine.
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\end{enumerate}
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\begin{flushleft}
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\textbf{Partie 2:} \emph{Modèle 2}
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\end{flushleft}
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Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le 1\ier{} juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite $(v_n)$ telle que:
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\hfill{}$v_0=97$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 0,91 v_n + 93$.\hfill{}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{4}
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\item On admet que, pour tout entier naturel $n$: $v_n=\dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^n + \np{3100}\strut\right )$.
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Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018? Arrondir à la centaine.
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\item En étudiant le signe de $v_{n+1} - v_n$, montrer que la suite $(v_n)$ est croissante.
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\end{enumerate}
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\begin{flushleft}
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\textbf{Partie 3:} \emph{Comparaison des différents modèles}
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\end{flushleft}
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Les valeurs relevées dans le camping sur le mois de juin n'ont jamais dépassé 1000 centaines de chenilles.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{6}
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\item Quel modèle paraît le plus adapté?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{eqnarray*}
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u_1 &=& u_0 \times 1.63 = 97 \times 1.63 = 158 \\
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u_2 &=& u_1 \times 1.63 = 158 \times 1.63 = 257
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\end{eqnarray*}
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\item Forme explicite de la suite $u_n = 97 \times 1.63^n$
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\item $(u_n)$ est croissante car la raison $q = 1.63$ est supérieur à 1.
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\item Le nombre de chenilles le 13 juin 2018 correspond à
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\[
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u_{12} = 97 \times 1.63^{12} = \np{34121}
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\]
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\item Comme précédemment le 13 juin 2018 correspond au 12e terme de la suite
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\[
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v_{12}=\dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{12} + \np{3100}\strut\right ) = 731
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\]
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\item Variation de la suite $(v_n)$
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\[
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v_{n+1} = \dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{n+1} + \np{3100}\strut\right )
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||
\]
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Donc
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\begin{eqnarray*}
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v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{n+1} + \np{3100}\strut\right ) - \dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{n} + \np{3100}\strut\right )\\
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||
v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{n+1} + \np{3100} + \np{2809} \times 0,91^{n} - \np{3100}\strut\right ) \\
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||
v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{n+1} + \np{2809} \times 0,91^{n}) \\
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v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \times 2809 ( - 0,91^{n+1} + 0,91^{n}) \\
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v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \times 2809 ( - 0,91^{n} \times 0.91 + 0,91^{n}) \\
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v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \times 2809 \times 0.91^n \times ( -0.91 + 1)
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\end{eqnarray*}
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Les nombres en dehors des parenthèses sont positifs.\\
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$-0.91 + 1 = 0.09$ est aussi positif.\\
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Donc $v_{n+1} - v_n$ est positif et donc la suite est croissante.
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\item D'après la question 4., $v_{12} = \np{34121}$ ce qui est beaucoup plus grand que les 1000 observées. La raison étant plus grande au 1, ce nombre va continuer d'augmenter. Le premier modèle ne semble donc pas adapté.
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Le deuxième modèle donne des quantités plus faible (731 au 13 juin). Il semble donc plus convenir.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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