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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Équations différentielles linéaire d'ordre 1}
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\tribe{Terminale Tsti2d}
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\date{Avril 2020}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Technique}]
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\begin{enumerate}
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\item Résoudre les équations différentielles suivantes.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $y' = 2y$
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\item $y' = -5y$
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\item $2y' = y$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Résoudre les équations différentielles et fixer la constante.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $y' = 2y$ et $y(0) = 5$
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\item $y' = -0,1y$ et $y(1) = 5$
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\item $y'+ 2y = 0$ et $y(0) = -1$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Décharge d'un condensateur}]
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On connecte en série, un condensateur $C$ chargé à une tension $u_0 = 10V$ à un résistance $R$. On s'intéresse à l'évolution de la tension en fonction du temps aux bornes du condensateur notée $u(t)$.
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La modélisation physique mène à l'équation différentielle suivante
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\[
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RC\times u'(t) = -u(t)
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\]
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Le condensateur a une capacité de $C = 15\times 10^{-5}$ farads. La résistance a pour valeur $R = 2\times10^{-2}\Omega$.
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Résoudre l'équation différentielle.
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\item Déterminer la solution, $u(t)$, qui vérifie les conditions initiales $u(0) = 10V$.
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\end{enumerate}
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\item Tracer l'allure de $u(t)$ et conjecturer la limite.
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\item Déterminer $t_1$ tel que
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\[
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u(t) \leq 0.5u(0)
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\]
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\item Déterminer le temps $t_2$ qu'à mis le condensateur à se décharger à 10\% de la tension initiale.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={ Moisissures }]
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Les moisissures ont un mode de reproduction qui fait que l'augmentation de la population est proportionnelle à la population (autrement dit, plus il y a de moisissures plus sa population augmente vite).
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On note $P$ la fonction qui modélise la taille de la population (en gramme) et $\dfrac{dP}{dt}$ la vitesse d'augmentation de la population. Ces 2 grandeurs sont promotionnelles, donc il existe $\alpha$ tel que
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\[
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\frac{dP}{dt} = \alpha P(t)
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\]
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où $t$ est en heure.
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Une étude en laboratoire a débuté avec 2,4g de moisissure et a mesuré au bout de 20h 24g.
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\begin{enumerate}
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\item Comment se notent ces quantités avec les notations de l'exercice?
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\item Résoudre l'équation différentielle.
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\item Déterminer $\alpha$ puis la constante de la solution de l'équation à partir des données de l'étude.
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\item En combien de temps, la population de moisissure aura dépassé 1kg?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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