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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Bac Blanc}
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\tribe{Terminale STI2D}
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\date{??? mars 2020}
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\duree{4 heures}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\titlepage
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\begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=4]
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\medskip
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\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. }
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\smallskip
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\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse. }
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle $[10 ; 50]$. La probabilité que ce nombre appartienne à l’intervalle $[15 ; 20]$ est :
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item $\dfrac{5}{50}$
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\item $\dfrac{1}{8}$
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\item $\dfrac{1}{40}$
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\item $\dfrac{1}{5}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item La valeur exacte de $\ln(10e^2)$ est :
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item $2\ln(10)+2$
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\item $4,302585093$
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\item $\ln(10)+2$
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\item $2\ln(10e)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item La fonction f est représenté graphiquement ci-dessus. Quelle est la bonne limite ~ ?
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{enumerate}
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\item $\lim\limits_{x \to 2^+}f(x)=-\infty$
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\item $\lim\limits_{x \to 0^-}f(x)=-\infty$
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\item $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$
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\item $\lim\limits_{x \to 2^-}f(x)=-\infty$
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\includegraphics[width=7cm]{fig/im_lim}
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\end{minipage}
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\item La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle $[-5;5]$.
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On pose $A=\int_{-2}^2 \! f(x) \, \mathrm{d}x$. Un encadrement de A est :
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\begin{center}
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\includegraphics[width=13cm]{fig/im_int}
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\end{center}
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item $0<A<1$
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\item $1<A<2$
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\item $3<A<4$
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\item $4<A<5$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\pagebreak
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\begin{exercise}[subtitle={Débit internet}, points=5]
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\begin{enumerate}
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\item Une commune de \np{2000} habitants au 1\up{er} janvier 2018 voit sa population augmenter de 5\,\% tous les ans.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$ : on a donc $h_0 = \np{2000}$.
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La suite $\left(h_n\right)$ est une suite géométrique. Exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de \np{16000}~Mbit/s au 1\up{er} janvier 2018 et à augmenter ce débit de 2,9\,\% par an.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$.
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On modélise ainsi le débit par la suite $\left(d_n\right)$. On a alors $d_n = \np{16000} \times 1,029^n$.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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\item On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle.
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Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$ et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $u_0$ et $u_1$.
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\item Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = 8 \times 0,98^n$.
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\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques.
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\item Déterminer la limite de la $\left(u_n\right)$.
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Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
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\end{enumerate}
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\item Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau.
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\begin{enumerate}
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\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
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Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer dans combien d'années le débit sera considéré comme insuffisant.
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\[
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\begin{array}{|l|}\hline
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U\gets 8\\
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N \gets 0\\
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\text{Tant que }\:U \ldots\\
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\hspace{0.8cm}U \gets \ldots\\
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\hspace{0.8cm}N \gets N+1~~~~~ \\
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\text{Fin Tant que}\\ \hline
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\end{array}
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\]
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\item En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\pagebreak
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\begin{exercise}[subtitle={Frottements}, points=5]
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En raison des frottements avec l'atmosphère résiduelle terrestre, les satellites en orbite basse perdent progressivement de l'altitude et finissent par se consumer dans les couches les plus denses de l'atmosphère. Cet évènement est appelé rentrée atmosphérique.
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Le temps, exprimé en jour, avant la rentrée atmosphérique dépend des caractéristiques du satellite et de l'altitude $h$, exprimée en kilomètre, de son orbite.
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Pour un satellite donné, ce temps est modélisé par une fonction $T$ de la variable $h$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty [$.
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\medskip
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\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante}.
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\medskip
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\textsf{\textbf{\textsc{partie A} – Étude d'un premier satellite}}
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\medskip
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Dans cette partie, on admet que la fonction $T$, associée à ce deuxième satellite, est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
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\[T(h) = K\times0,012\e^{0,025(h-150)}.\]
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Le nombre réel $K$ est appelé coefficient balistique du satellite.
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La fonction $T$ associée à ce deuxième satellite est représentée ci-après.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.25]{./fig/satellite}
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\end{center}
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\emph{Dans cette partie, les résultats seront donnés avec la précision permise par le graphique.}
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item À quelle altitude minimale faut-il mettre en orbite ce deuxième satellite pour que le temps restant avant sa rentrée atmosphérique soit au moins égal à \np{1000} jours ?
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\item Déterminer une valeur approchée du coefficient balistique $K$ de ce deuxième satellite.
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\end{enumerate}
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\medskip
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\textsf{\textbf{\textsc{partie B} – Étude d'un deuxième satellite : Hubble}}
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\medskip
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Le satellite Hubble a un coefficient balistique $K$ égal à 11.
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La fonction $T$, associée à ce troisième satellite, est donc définie sur l'intervalle
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$[0~;~ +\infty [$ par :
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\[T(h)=0,132\e^{0,025(h-150)}.\]
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\begin{enumerate}
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\item L'orbite du satellite Hubble est située à l'altitude $h$ de 575 km. Calculer le temps $T(h)$ restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble. Arrondir au jour près.
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\item Tracer l'allure de la représentation graphique de $T$ et en déduire la limite de $T$ en $+\infty$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer $T'(h)$, où $T'$ désigne la fonction dérivée de $T$.
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\item En déduire le sens de variations de la fonction $T$ sur $[0~;~ +\infty [$.
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\end{enumerate}
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\item On souhaite étudier l'effet d'une augmentation de 10 km de l'altitude $h$ sur le temps restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble.
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que $T(h + 10)= \e^{0,25}\times T(h)$.
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\item En déduire qu'augmenter l'altitude $h$ de 10 km revient à augmenter d'environ 28\,\% le temps restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Bras articulé}, points=5]
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Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, le bras articulé d’un robot, fixé au point O, est représenté par deux segments [OA] et [AB], chacun de longueur 2 unités.
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Deux exemples de position du bras articulé sont donnés ci-dessous à titre indicatif.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.25]{./fig/bras1}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Tracer sur la copie un repère orthonormé \Ouv.
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Placer le point A d'affixe $z_{\text A}= 2i$ puis construire l'extrémité B du bras articulé
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lorsque son affixe $z_{\text B}$ a pour argument $\dfrac{\pi}{4}$.
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\item Donner l'affixe du point B sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
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\end{enumerate}
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\item L'extrémité B du bras peut-elle atteindre un objet qui se trouve à une distance de $4,5$
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unités du point O?
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\item Pour soulever un objet lourd dont le point d'accroche est le point C (voir figure ci-contre), il faut rigidifier l'articulation en A. On décide alors de bloquer l'angle $\left ( \vec{AO}~,~\vec{AB}\right )$ tel qu'une mesure de cet angle soit constamment égale à $\dfrac{\pi}{2}$ radians.
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\hfill
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\includegraphics[scale=0.25]{./fig/bras2}
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\hfill{}
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la longueur OB.
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\item Le point C a pour affixe $z_{\text C} = 2\sqrt{2}\e^{i\frac{\pi}{12}}$.
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Justifier que l'extrémité B du bras articulé pourra atteindre le point d'accroche C de l'objet.
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\item Lorsque le bras articulé saisit l'objet, les points B et C sont confondus.
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Calculer la mesure de l'angle que forme alors le bras [OA] avec l'axe [O$x$).
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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