2019-2020/Tsti2d/DS/DS_19_10_10/DS_19_10_10.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{tasks}
\usepackage{myXsim}

\title{DS 2}
\tribe{Terminale STI2D}
\date{10 octobre 2019}
\duree{1 heure}

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.

\begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=3]
    \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'ajoutent ni ne retirent aucun point.\\
        Inscrire sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
    Aucune justification n'est demandée.}
    \begin{enumerate}
        \item On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\intFO{0}{+\infty}$. On pose 
            \begin{minipage}{0.4\textwidth}
                On pose
                \[
                    I = \int_{1}^{3} f(x)dx
                \]
                Un encadrement de $I$ est 
                \begin{enumerate}
                    \item $1 \leq I \leq 3$
                    \item $2 \leq I \leq 4$
                    \item $5 \leq I \leq 7$
                \end{enumerate}
            \end{minipage}
            \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[xscale=1.5, yscale=0.5]
                    \tkzInit[xmin=-0.1,xmax=5,ymax=5]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \tkzFct[color=red]{4*x**2/(x**2+1)}
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
        \item On donne $||\vec{u}||=2$, $||\vec{v}||=5$ et $\vec{u}\cdot\vec{v} = 5\sqrt{3}$ alors l'angle $(\vec{u};\vec{v})$ est égale à
            \begin{tasks}(3)
                \task $\dfrac{-\pi}{3}$
                \task $\dfrac{2\pi}{3}$
                \task $\dfrac{\pi}{6}$
            \end{tasks}
        \item Soit $A(0,1)$, $B(1, 4)$ et $C(-3, 4)$ alors $\vec{AB}\cdot\vec{BC}$ est 
            \begin{tasks}(3)
                \task Positif
                \task Nul
                \task Négatif
            \end{tasks}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière première}, points=8]
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
    On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $12m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges. 

    On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \includegraphics[scale=0.8]{./fig/citerne}
    \end{minipage}

    \begin{enumerate}
        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{4}{x}$.
        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
            \[
                S(x) = 6x + 8 + \frac{24}{x}
            \]
        \item On admet que
            \[
                S(x) = \frac{6x^2 + 8x + 24}{x}
            \]
            Démontrer que 
            \[
                S'(x) = \frac{6x^2-24}{x^2}
            \]
        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\pagebreak

\begin{exercise}[subtitle={Système de climatisation}, points=9]
    La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système  fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.

    On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd
    naturellement $0,1$ gramme de gaz chaque jour.

    Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz
    dans le réservoir est initialement de $660$ grammes.

    \subsection*{Partie A}

    Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse  de gaz est inférieure à $440$ grammes.

    Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à  l'automobiliste de recharger ce réservoir ?

    \subsection*{Partie B}

    Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à  l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule  présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la  perte naturelle de $0,1$ gramme, le système perd $1\,\%$  de sa masse chaque jour.

    Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.

    Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le  réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.

    On a donc, $u_0 = 660$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
    on a :
    \[
        u_{n+1} = 0,99u_n -0,1.
    \]

    \begin{enumerate}
        \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
        \item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
            nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
            dans le système.

            \begin{center}
                \begin{tabular}{| l |}
                    \hline
                    \textbf{Variables}        \\
                    \hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm}  \\
                    \hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
                    \hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre  réel\\
                    \textbf{Entrée}         \\
                    \hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
                    \textbf{Initialisation}\\
                    \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
                    \textbf{Traitement} \\
                    \hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
                    \hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm}  $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm}  \\
                    \hspace*{0.5cm} Fin pour\\
                    \textbf{Sortie} \\
                    \hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}

            \begin{enumerate}

                \item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de      cet algorithme.
                \item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
                    Arrondir au gramme près.
            \end{enumerate}

        \item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier    naturel par $v_n = u_n +10$.

            \begin{enumerate}
                \item Calculer $v_0$.
                \item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison      $0,99$.

                    Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
                \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a :   $u_n = 670 \times 0,99^n -10$.
                \item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à  la \textbf{question 2.b.}

            \end{enumerate}

        \item On rappelle que le constructeur préconise de recharger le  réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$~g.

            Le coût d'une recharge est de $80$ euros. Le garagiste propose de  réparer le système pour $400$ euros.

            Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer   le système ? Justifier la réponse.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: