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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{tasks}
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\usepackage{myXsim}
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\title{DS 5}
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\tribe{Terminale STI2D}
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\date{21 janvier 2020}
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\duree{2 heures}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
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\begin{exercise}[subtitle={Therminstance}, points=5]
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Une thermistance est un composant électronique dont la résistance varie en fonction de la température et qui est utilisé, entre autres, comme capteur de température.
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Afin d'alerter les utilisateurs de cas de surchauffe, on munit les batteries de thermistances.
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Un constructeur de thermistances indique que la valeur $R$, exprimée en Ohm $(\Omega)$, de la résistance de celle-ci est donnée, pour des températures $\theta$, exprimées en degré Celsius ($\degres$C) et comprises entre $0~\degres$C
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et $120~\degres$C, par :
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\[R = - 0,04 \theta^3 + 7,2 \theta^2 - 240 \theta + \np{3000}.\]
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On considère la fonction $g$ définie sur [0~;~120] par :
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\[g(x) = - 0,04x^3 + 7,2x^2 - 240x + \np{3000}.\]
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\smallskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $g'(x)$ où $g'$ est la dérivée de $g$.
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\item Dresser, en justifiant, le tableau de variations de $g$ sur [0~;~120].
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\item En déduire la résistance maximale et la température pour laquelle elle est atteinte.
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\end{enumerate}
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\item Un message d'alerte apparaît sur l'ordinateur de bord du véhicule lorsque la résistance atteint \np{5000}~$\Omega$, ce qui signifie que la batterie est trop chaude.
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On cherche la température correspondant à cette valeur.
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\begin{enumerate}
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\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement, à un degré près, de la température cherchée.
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\item On considère l'algorithme suivant :
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline
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$x \gets 20$\\
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$y \gets 760$\\
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Tant que $y < \ldots$\\
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\hspace{0,8cm}$x \gets x + 1$\\
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\hspace{0,8cm}$y \gets \ldots$\\
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Fin Tant que\\ \hline
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\end{tabularx}
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\end{center}
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Recopier et compléter l'algorithme pour qu'à la fin de son exécution, la variable $x$ contienne la température cherchée.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\pagebreak
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\begin{exercise}[subtitle={Voitures éléctriques}, points=10]
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\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. }
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\textbf{Partie A }
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\medskip
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On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~4[ par:
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\[f(x) = 10x + \ln( 4 - x) - \ln 4.\]
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On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $f(0)$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ sur $\intFO{0}{4}$ et conjecturer la valeur de $\displaystyle\lim_{x \to 4}f(x)$.
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\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~4[.
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Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~4[, on a: $f'(x) = \dfrac{39 - 10x}{4 - x}$.
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\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout x appartenant à l'intervalle [0~;~4[.
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\item Justifier que la fonction $f$ atteint un maximum en 3,9.
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Donner une valeur approchée au dixième de ce maximum.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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Un constructeur de voitures électriques affirme que ses modèles peuvent atteindre la vitesse de $100$~km.h$^{-1}$ en moins de $3$ secondes. Pour vérifier cette affirmation, des journalistes ont testé une de ces voitures en réalisant l'essai suivant :
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\begin{itemize}
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\item dans un premier temps, augmentation de la vitesse de 0 à $35,3$ m.s$^{-1}$ (soit environ $127$ km.h$^{-1}$) en $3,9$~s ;
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\item dans un deuxième temps, stabilisation de la vitesse à $35,3$~m.s$^{-1}$.
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\end{itemize}
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L'évolution de la vitesse en fonction du temps est représentée par le graphique ci-dessous:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.3]{./fig/vitesse_voiture}
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\end{center}
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Durant la phase d'accélération, la vitesse de la voiture est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie A et définie par :
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\[f(t) = 10t + \ln(4 - t) - \ln 4 \quad \text{avec }\:t \in [0~;~3,9]\]
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où $t$ est exprimé en seconde et $f(t)$ est exprimée en m.s$^{-1}$.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $f(3)$.
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\item L'affirmation du constructeur est-elle vérifiée ?
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\end{enumerate}
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\item La distance $D$, exprimée en mètre, parcourue durant la phase d'accélération est donnée par la formule : $D = \displaystyle\int_0^{3,9} f(t)\: \text{d}t$.
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\begin{enumerate}
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\item On considère la fonction $F$ définie sur [0~;~3,9] par:
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\[F(t) = 5 t^2 - t + (t - 4) [\ln ( 4 - t) - \ln 4].\]
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Montrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$.
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\item Calculer la distance $D$ arrondie au dixième.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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