93 lines
3.1 KiB
TeX
93 lines
3.1 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
\title{Notion d'intégrale}
|
|
\tribe{Terminale TESL}
|
|
\date{Janvier 2020}
|
|
|
|
\pagestyle{empty}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\section{Intégrale d'une fonction continue et positive}
|
|
|
|
On a vu en exercice que pour calculer le nombre d'individus total il a fallu calculer l'aire sous la courbe décrivant la pyramide des âges. Cette aire est appelée \textbf{intégrale}.
|
|
|
|
\subsection*{Définition}
|
|
|
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
|
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $\intFF{a}{b}$ et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique.
|
|
|
|
\textbf{L'intégrale de $f$ sur $\intFF{a}{b}$} est l'aire situé entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ (zone hachurée sur le graphique).
|
|
|
|
On note cette quantité:
|
|
\[
|
|
\int_a^b f(x) dx
|
|
\]
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
|
|
\tkzInit[xmin=-3,xmax=4,ymin=-2,ymax=4]
|
|
\tkzDrawXY
|
|
\tkzFct[domain = -2.15:3.2]{(2+\x)*exp(-\x)}
|
|
\tkzDrawArea[pattern=north west lines,domain =-1:2]
|
|
%tkzRep
|
|
\draw (-1,0) node [below] {a};
|
|
\draw (2,0) node [below] {b};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\subsection*{Exemples}
|
|
\textbf{Toujourotan}
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
|
|
\draw (0, 4) node [above] {Nombre d'individus (en miliers)};
|
|
\foreach \k in {2,4,...,8}{%
|
|
\draw (0, \k/2) node [left] {\k};
|
|
}
|
|
\draw (16, 0) node [above right] {Age (en années)};
|
|
\foreach \k in {5,10,...,80}{%
|
|
\draw (\k/5, 0) node [below] {\k};
|
|
}
|
|
\draw[very thin, gray, xstep=0.5] (0,0) grid (16,4);
|
|
\draw[->, very thick] (-0.5,0) -- (16.5,0);
|
|
\draw[->, very thick] (0,-0.5) -- (0,4.2);
|
|
|
|
\draw[very thick, color=red] plot coordinates{(0,2.5) (16,2.5)};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
En notant $f$ la fonction tracée dans le graphique, la population qui a entre 15 et 65ans se calcule
|
|
\[
|
|
\int_{15}^{65} f(x) dx =
|
|
\]
|
|
\afaire{Hachurer le rectangle correspondant à la population qui a entre 15 et 65 ans et faire le calcul}
|
|
|
|
\textbf{Hautenatalite}
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.5]
|
|
\draw (0, 6) node [above] {Nombre d'individus (en miliers)};
|
|
\draw (0, 1) node [left] {2};
|
|
\foreach \k in {2,4,...,12}{%
|
|
\draw (0, \k/2) node [left] {\k};
|
|
}
|
|
\draw (16, 0) node [above right] {Age (en années)};
|
|
\foreach \k in {5,10,...,80}{%
|
|
\draw (\k/5, 0) node [below] {\k};
|
|
}
|
|
\draw[very thin, gray, xstep=0.5] (0,0) grid (16,6);
|
|
\draw[->, very thick] (-0.5,0) -- (16.5,0);
|
|
\draw[->, very thick] (0,-0.5) -- (0,6.2);
|
|
|
|
\draw[very thick, color=red] plot coordinates{(0,5) (16,0)};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
En notant $g$ la fonction tracée dans le graphique, la population qui a entre 15 et 65ans se calcule
|
|
\[
|
|
\int_{15}^{65} g(x) dx =
|
|
\]
|
|
\afaire{Hachurer le rectangle correspondant à la population qui a entre 15 et 65 ans et faire le calcul}
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|