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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Notion d'intégrale}
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\tribe{Terminale TESL}
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\date{Janvier 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{3}
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\section{Point de vue intégrale de la loi uniforme}
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\subsection*{Rappels}
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Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $\intFF{a}{b}$. Alors pour tout nombre $c$ et $d$ de l'intervalle $\intFF{a}{b}$ tels que $c \leq d$on a
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\[
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P(c\leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}
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\]
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Ce calcul est justifié par le rapport entre la longueur du segment où $X$ peut prendre ses valeurs (segment $[AB]$) et la longueur du segment des valeurs "intéressantes" (segment $[CD]$).
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\subsection*{Un autre point de vue}
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On peut associer à $X$ une fonction $f$ constante sur $\intFF{a}{b}$ telle que
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\[
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f(x) = \frac{1}{b-a}
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\]
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Alors la calcul de probabilité vu plus haut peut s'interpréter comme le calcul d'une aire sous la courbe et donc d'une intégrale:
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\begin{minipage}{0.55\textwidth}
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\[
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P(c\leq X \leq d) = \int_c^d f(x) dx = \frac{1}{b-a} \times (c-d)
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\]
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=3.3,xstep=1,
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ymin=0,ymax=2,ystep=1]
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\tkzDrawXY
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\subsection*{Définition}
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Cette fonction $f$ est appelée \textbf{la fonction densité de $X$} et doit vérifier
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\[
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\int_a^b f(x) dx = 1
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\]
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Ce qui s'interprète comme la probabilité d'avoir un nombre compris entre $a$ et $b$ doit être égal à 1.
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\end{document}
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