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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{booktabs}
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\title{Limite de suite géométriques- Bilan}
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\date{Décembre 2019}
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\begin{document}
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\section*{Suites arithméticogéométriques}
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\subsection{Définition}
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Une suite arithméticogéométrique est une suite qui mélange les caractéristiques d'une suite arithmétique (l'addition) et d'une géométrique (la multiplication). Elle est de la forme
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\[
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u_{n+1} = a\times u_n + b \mbox{ avec } a \mbox{ et } b \mbox{ deux réels}
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\]
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\subsection{Remarques}
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\begin{itemize}
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\item Vous avez construit des suites de ce type dans l'exercice sur le renouvellement des médecins.
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\item Aucune connaissance théorique sur les suites arithméticogéométriques n'est exigible en terminal ES-L. Par contre, on les retrouve presque toujours en les exercices du bac. Il a quelques manipulations à connaître.
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\end{itemize}
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\subsection{Manipulations à connaître}
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Soit $(u_n)$ une suite définie par
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\[
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\left\{
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\begin{array}{l}
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u_{n+1} = 0.9 u_n + 24 \\
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u_0 = \np{60}
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\end{array}
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\right.
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\]
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On reconnaît une suite arithméticogéométrique.
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Pour l'étude de cette suite, on passera par une suite annexe (qui sera toujours donnée).
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\[
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v_n = u_n - 240
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\]
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On va alors chercher à démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique
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\begin{eqnarray*}
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\frac{v_{n+1}}{v_n} &=& \frac{u_{n+1} - 240}{u_n-240} \\
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&=& \frac{0.9u_n + 24 - 240}{u_n-240}\\
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&=& \frac{0.9u_n - 216}{u_n-240}\\
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&=& \frac{0.9\left( u_n - 240\right)}{u_n - 240} \\
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&=& 0.9
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\end{eqnarray*}
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Donc
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\[
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v_{n+1} = 0.9v_n
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\]
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Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison q=0.9. Il reste donc à connaître le premier terme $v_0$
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\[
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v_0 = u_0 -240 = 60 - 240 = -180
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\]
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On peut en déduit $v_n$ en fonction de $n$
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\[
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v_n = v_0\times q^n = -180\times0.9^n
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\]
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On en déduit donc $u_n$ (ici je l'explique d'une autre façon que Aurélie mais les deux méthodes sont correctes).
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\[
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v_n = u_n - 240
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\]
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Donc
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\[
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u_n = v_n + 240 = -180\times0.9^n + 240
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\]
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\end{document}
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