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TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{tasks}
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\usepackage{myXsim}
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\title{DS 2}
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\tribe{Terminale STI2D}
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\date{10 octobre 2019}
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\duree{1 heure}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
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\begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=3]
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\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'ajoutent ni ne retirent aucun point.\\
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Inscrire sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
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Aucune justification n'est demandée.}
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\begin{enumerate}
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\item On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\intFO{0}{+\infty}$. On pose
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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On pose
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\[
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I = \int_{1}^{3} f(x)dx
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\]
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Un encadrement de $I$ est
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\begin{enumerate}
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\item $1 \leq I \leq 3$
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\item $2 \leq I \leq 4$
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\item $5 \leq I \leq 7$
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[xscale=1.5, yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=-0.1,xmax=5,ymax=5]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[color=red]{4*x**2/(x**2+1)}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\item On donne $||\vec{u}||=2$, $||\vec{v}||=5$ et $\vec{u}\cdot\vec{v} = 5\sqrt{3}$ alors l'angle $(\vec{u};\vec{v})$ est égale à
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\begin{tasks}(3)
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\task $\dfrac{-\pi}{3}$
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\task $\dfrac{2\pi}{3}$
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\task $\dfrac{\pi}{6}$
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\end{tasks}
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\item Soit $A(0,1)$, $B(1, 4)$ et $C(-3, 4)$ alors $\vec{AB}\cdot\vec{BC}$ est
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\begin{tasks}(3)
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\task Positif
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\task Nul
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\task Négatif
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\end{tasks}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière première}, points=8]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $12m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
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On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/citerne}
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\end{minipage}
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\begin{enumerate}
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\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
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\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{4}{x}$.
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\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
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\[
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S(x) = 6x + 8 + \frac{24}{x}
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\]
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\item On admet que
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\[
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S(x) = \frac{6x^2 + 8x + 24}{x}
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\]
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Démontrer que
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\[
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S'(x) = \frac{6x^2-24}{x^2}
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\]
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\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
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\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\pagebreak
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\begin{exercise}[subtitle={Système de climatisation}, points=9]
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La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
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On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd
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naturellement $0,1$ gramme de gaz chaque jour.
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Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz
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dans le réservoir est initialement de $660$ grammes.
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\subsection*{Partie A}
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Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
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Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
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\subsection*{Partie B}
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Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0,1$ gramme, le système perd $1\,\%$ de sa masse chaque jour.
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Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
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On a donc, $u_0 = 660$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
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on a :
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\[
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u_{n+1} = 0,99u_n -0,1.
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
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\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
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nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
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dans le système.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| l |}
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\hline
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\textbf{Variables} \\
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\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
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\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
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\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
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\textbf{Entrée} \\
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\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
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\textbf{Initialisation}\\
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\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
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\textbf{Traitement} \\
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\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
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\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
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\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
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\textbf{Sortie} \\
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\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
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\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
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Arrondir au gramme près.
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\end{enumerate}
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\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n +10$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $v_0$.
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\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,99$.
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Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
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\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 670 \times 0,99^n -10$.
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\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
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\end{enumerate}
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\item On rappelle que le constructeur préconise de recharger le réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$~g.
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Le coût d'une recharge est de $80$ euros. Le garagiste propose de réparer le système pour $400$ euros.
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Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer le système ? Justifier la réponse.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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