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12 KiB
TeX
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TeX
\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Intégrale et aire}, step={1}, topics={Integration}]
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Calculer les intégrales suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $\displaystyle \int_1^6 5t dt $
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\item $\displaystyle \int_{-10}^5 t dt $
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\item $\displaystyle \int_{100}^{200} \frac{1}{2} t dt $
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\item $\displaystyle \int_1^6 5 dt $
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\item $\displaystyle \int_{3}^{10} 1 dx $
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\item $\displaystyle \int_{0}^{110} 0,3x dx $
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Calculer des aires}, step={2}]
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\begin{enumerate}
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\item On veut calculer la quantité $\ds \int_2^3 3x^2 - 12x +14 dx$.
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\begin{enumerate}
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\item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 3x^2 - 12x +14$?
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\[
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F(x) = 6x^3 + 4x^2 - 5x + 10 \qquad
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F(x) = -3x^3 + 4x^2 - 5x + 1 \qquad
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F(x) = x^3 - 6x^2 + 14x + 1 \qquad
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\]
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\item Calculer $\ds \int_2^3 3x^2 - 12x +14 dx$
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\end{enumerate}
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\item On veut calculer la quantité
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\begin{enumerate}
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\item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 6x^2 + 4x -5$?
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\[
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F(x) = x^6 + x^2 - 5x + 1 \qquad
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F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 5x + 10 \qquad
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F(x) = 6x^3 + 4x^2 - 5x \qquad
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\]
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\item Calculer $\ds \int_1^{10} 6x^2 + 4x - 5 dx$
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\end{enumerate}
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\item On veut calculer la quantité $\ds \int_1^{10} 12x^3 - x - 1 dx$
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\begin{enumerate}
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\item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 12x^3 - x - 1$?
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\[
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F(x) = 3x^4 - 0.5x^2 - x \qquad
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F(x) = x^4 - 2x^2 - x + 2 \qquad
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F(x) = \dfrac{12}{4}x^4 - \dfrac{1}{2}x^2 - x \qquad
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\]
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\item Calculer $\ds \int_1^{10} 12x^3 - x - 1 dx$
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\end{enumerate}
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\item On veut calculer la quantité $\ds \int_{-1}^{1} e^x + 10x + 1 dx$
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\begin{enumerate}
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\item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = e^x + 10x + 1$?
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\[
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F(x) = e^x + 5x^2 - x + 1 \qquad
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F(x) = e^x + 5x^2 + x + 10 \qquad
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F(x) = e^x + 10x^2 - 2x \qquad
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F(x) = e^x + 5x^2 - x + 5 \qquad
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\]
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\item Calculer $\ds \int_{-1}^{1} e^x + 10x + 1dx$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Calculs de primitives}, step={3}]
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Calculer les primitives des fonctions suivantes.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 9x^2 - 2x + 2$
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\item $f(x) = 2 + 5x - 15x^2$
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\item $f(x) = 5x^3 + 2x^2 + 1$
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\item $f(x) = (2x+1)^2$
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\item $f(x) = e^x + 5e^x + 1$
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\item $f(x) = \dfrac{1}{x^2} + 4$
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\item(*) $f(x) = \dfrac{3}{x^2} - x$
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\item(*) $f(x) = \dfrac{x^3 + 2x^2 + 1}{x}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Calculs de primitives - exponentielle}, step={3}]
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Calculer les primitives des fonctions suivantes.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 2e^{2x+1}$
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\item $f(x) = 0.1e^{0.1x-19}$
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\item $f(x) = 6e^{2x+1}$
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\item $f(x) = (2x+1)e^{x^2+x+2}$
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\item(*) $f(x) = 2e^{0.5x+1} - e^{-0.5x+2}$
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\item(*) $f(x) = (x-2)e^{x^2 - 4x}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Calculer une intégrale}, step={4}]
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On souhaite calculer plusieurs intégrales de la fonction $f(x) =3x^2 + 4x - 1$
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\begin{enumerate}
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\item Calculer un primitive de $f$.
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\item Représenter graphiquement les quantités suivantes puis les calcules.
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\[
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\int_{1}^2 f(x) \;dx \qquad
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\int_{2}^3 f(x) \;dx \qquad
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\]
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\item Représenter graphiquement la quantité $\ds \int_{1}^3 f(x) \;dx$ et déduire sa valeur à partir de la questions précédente
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\item (*) Quelle formule peut-on conjecturer des deux questions précédentes? (si vous êtes pas trompé, cette formule s'appelle la relation de Chasles).
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Calculs d'intégrales}, step={4}]
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Calculer les valeurs suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $\ds A = \int_1^2 9x^2 - 2x + 2\; dx$
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\item $\ds B = \int_3^4 5x^3 + 2x^2 + 1\; dx$
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\item $\ds C = \int_0^{10} (2x+1)^2\; dx$
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\item(*) $\ds D = \int_0^{10} 0.5e^{0.5x+1}\; dx$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Propriétés de l'intégrales}, step={4}]
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Dans cet exercice, le calcul de plusieurs intégrales devrait vous permettre d'intuiter les propriétés de l'intégrale (du même type de la relation de Chasles dans le premier exercice).
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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Pour cela, on va s'intéresser aux deux fonctions suivantes (représentée ci-contre)
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\[
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f(x) = 2x - 4 \qquad \qquad g(x) = x^2 - 6x + 11
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\]
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.3, xscale=1.2, domain=-1:6]
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\tkzInit[xmin=-1,xmax=6,xstep=1, ymin=-4,ymax=7,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
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\tkzFct{2*x-4}
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\tkzFct{(x-3)*(x-3)+2}
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%\draw plot[id=g] function {(x-3)*(x-3)+2} node[right] {$g(x)$};
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\begin{enumerate}
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\item Influence du signe de la fonction
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les quantités suivantes
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\[
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\int_{1}^2 f(x) \;dx \qquad \qquad \int_3^4 g(x) \;dx
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\]
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\item Quel est le signe de $f(x)$ sur $\intFF{1}{2}$ puis sur $\intFF{3}{4}$?
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\item Que peut-on conjecturer sur le lien entre le signe de la fonction et le signe de l'intégrale?
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\end{enumerate}
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\item Croissance de l'intégrale Pour les questions qui suivent on définira
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\[
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h(x) = f(x) - g(x)
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Étudier le signe de $h(x)$ et en déduire l'intervalle sur lequel on a $f(x) \geq h(x)$.
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\item Calculer les quantités suivantes
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\[
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\int_3^5 h(x) \;dx
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\]
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\item En déduire, la comparaison des quantités suivantes
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\[
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\int_3^5 f(x) \;dx \qquad \qquad \int_3^5 g(x) \;dx
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\]
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\item Que peut-on conjecturer de la questions (a) et (c)?
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\end{enumerate}
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\item Aire entre deux courbes.
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\begin{enumerate}
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\item Représenter sur le graphique la quantité
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\[
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\int_3^5 f(x) \;dx - \int_3^5 g(x) \;dx
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\]
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\item En déduire, une méthode pour calculer l'aire contenue entre 2 courbes.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Encore d'actualité}, step={5}]
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Dans un précédent exercice, on avait étudié le nombre de personnes infecté au Covid-19 en France. Les quantités qui suivent sont tirés de cet exercice et grossièrement arrondis.
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Dans l'exercice présent, nous allons étudier le nombre de nouveaux cas à partir du premier mars suivant deux modèles: un discret (avec une suite) et un continu (avec un fonction).
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Modèle discret}: Le nombre de nouveaux cas quotidiens est modélisé par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme 26 et de raison 1,22. $n$ désigne le nombre de jour après le premier mars.
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\begin{enumerate}
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\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
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\item Combien de nouveau cas peut-on compter au 5mars ($u_4$)? Au 10 mars?
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\item Tracer la représentation graphique de $u_n$ pour $n$ allant de 0 à 10 (l'axe des abscisses ira de 0 à 200).
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\item Combien de nouveau cas peut-on compter entre le premier mars et le 10 mars (compris)?
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\item Interpréter ce résultat en terme d'aire sur le graphique.
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\item Quelle a été la moyenne du nombre de nouveaux cas entre le premier et le 10 mars?
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Modèle continue}: Le nombre de nouveaux cas quotidiens est modélisé par la fonction suivante (obtenu par prolongement continue le la suite $(u_n)$)
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\[
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f(x) = 26 e^{0.2x}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f(x)$.
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\item Représenter graphiquement le nombre de cas total entre le premier et le 10 mars (compris).
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\item Calculer cette quantité.
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\item Quelle a été la moyenne du nombre de nouveaux cas entre le premier et le 10 mars?
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\end{enumerate}
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\item (*) Proposer une façon de calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={valeur moyenne}, step={5}]
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Calculer la valeur moyenne des fonctions ci-dessous suivant l'intervalle considéré
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 2x^2 + 4x - 1$ sur $I = \intFF{2}{3}$
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\item $g(x) = 4x^3 - 2x^2 + 1$ sur $I = \intFF{0}{10}$
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\item $h(x) = (2x-1)^2$ sur $I = \intFF{0}{0.5}$
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\item $i(x) = 0,5e^{-0,5x}$ sur $I = \intFF{0}{10}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Fonction à densite}, step={6}]
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Déterminer, dans les cas suivant, si la fonction $f$ est une fonction à densité.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 3x^2$ sur $\intFF{0}{1}$
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\item $f(x) = -3x^2$ sur $\intFF{-1}{0}$
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\item $f(x) = \dfrac{2}{x^2}$ sur $\intFF{1}{2}$
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\item $f(x) = 0,5 - x$ sur $\intFF{-1}{1}$
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\item $f(x) = e^x$ sur $\intFF{0}{\ln(1)}$
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|
\item $f(x) = e^x$ sur $\intFF{0}{\ln(2)}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Loi uniforme}, step={6}]
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Soit $X$ une variable aléatoire sur $\intFF{0}{5}$ que l'on associe à la fonction $f(x) = 0.2$
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\begin{enumerate}
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|
\item Calculer
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\[
|
|
\int_0^5 f(x) \; dx
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|
\]
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|
Est-ce que la fonction $f$ est une fonction de densité sur $\intFF{0}{5}$?
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|
\item Tracer sur la calculatrice la courbe représentative de $f$ sur $\intFF{0}{5}$. Et recopier l'allure de cette courbe.
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|
\item Calculer les probabilités suivantes en représentant à chaque fois sur le graphique ce à quoi cela correspond.
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\[
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|
P(1 \leq X \leq 2) \qquad \qquad
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|
P(1 \leq X) \qquad \qquad
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P(X \leq 2) \qquad \qquad
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P(X = 2)
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\]
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|
\item Calculer l'espérance de $X$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étrange loi}, step={6}]
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Soit $X$ une variable aléatoire sur $\intFF{0}{3}$ que l'on associe à la fonction $f(x) = -x^2 + \frac{10}{3}$
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\begin{enumerate}
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|
\item Calculer
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\[
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|
\int_0^3 f(x) \; dx
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|
\]
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|
Est-ce que la fonction $f$ est une fonction de densité sur $\intFF{0}{3}$?
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\item Tracer sur la calculatrice la courbe représentative de $f$ sur $\intFF{0}{3}$. Et recopier l'allure de cette courbe.
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\item Calculer les probabilités suivantes en représentant à chaque fois sur le graphique ce à quoi cela correspond.
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|
\[
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|
P(1 \leq X \leq 2) \qquad \qquad
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|
P(1 \leq X) \qquad \qquad
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|
P(X \leq 2) \qquad \qquad
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|
P(X = 2)
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|
\]
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|
\item Calculer l'espérance de $X$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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