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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Bilan sur les vecteurs}
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\tribe{1ST}
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\date{Novembre 2019}
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\pagestyle{empty}
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%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
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\begin{document}
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\section*{Vecteurs}
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\subsection*{Définition}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
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\textbf{Le vecteur $\vec{AB}$} est un objet mathématique qui modélise la transformation qui amène le point $A$ sur le point $B$.
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\bigskip
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On représente ce vecteur par une flèche qui n'est pas nécessairement attachée aux points $A$ ou $B$.
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\hfill
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw (0, 0) node {x} node[below left] {$A$};
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\draw (1, 2) node {x} node[above left] {$B$};
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\draw[->, very thick] (0, 0) -- (1, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
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\draw[->, very thick] (3, 0) -- (4, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
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\end{tikzpicture}
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\hfill
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\end{minipage}
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\subsection*{Remarque}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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$\vec{AB} \neq \vec{BA}$ car ces deux vecteurs n'ont pas le même sens.
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\bigskip
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On dit que $\vec{AB}$ est le vecteur opposé au vecteur $\vec{BA}$ et on note
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\[
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\vec{AB} = - \vec{BA}
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\]
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw (0, 0) node {x} node[below left] {$A$};
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\draw (1, 2) node {x} node[above left] {$B$};
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%\draw[->, very thick] (0, 0) -- (1, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
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\draw[->, very thick] (3, 0) -- (4, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
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\draw[->, very thick] (6, 2) -- (5, 0) node[left, midway] {$\vec{BA}$};
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\subsection*{Coordonnées d'un vecteur}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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Quand on se place dans un repère, on peut alors définir les coordonnées d'un vecteur qui s'écrive alors en colonne.
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\[
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\vec{u} = \vectCoord{x}{y}
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\]
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\hfill
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw[->] (-0.5, 0) -- (4,0);
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\draw[->] (0, -0.5) -- (0,2.5);
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\draw[->, very thick] (1, 1) -- (3, 2) node[above, midway] {$\vec{u}$};
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\draw[dashed] (1,1) -- (1,0);
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\draw[dashed] (3,2) -- (3,0);
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\draw (2, 0) node[below] {$x$};
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\draw[dashed] (1,1) -- (0,1);
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\draw[dashed] (3,2) -- (0,2);
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\draw (0, 1.5) node[left] {$y$};
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\subsection*{Calculer les coordonnées d'un vecteur}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points du plan. Alors on peut calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$
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\[
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\vec{AB} = \vectCoord{x_B - x_A}{y_B - y_A}
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\]
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\hfill
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw[->] (-0.5, 0) -- (4,0);
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\draw[->] (0, -0.5) -- (0,2.5);
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\draw[->, very thick] (1, 1) node [below left] {$A$} -- (3, 2) node [above right] {$B$} node[above left, midway] {$\vec{AB}$};
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\draw[dashed] (1,1) -- (1,0) node [below] {$x_A$};
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\draw[dashed] (3,2) -- (3,0) node [below] {$x_B$};
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\draw[dashed] (1,1) -- (0,1) node [left] {$y_A$};
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\draw[dashed] (3,2) -- (0,2) node [left] {$y_B$};
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\subsection*{Somme de vecteurs}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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Il est possible de faire la somme de plusieurs vecteurs.
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\bigskip
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Dans un repère, on peut alors faire la somme des coordonnées
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\[
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\vec{u} = \vectCoord{x_{\vec{u}}}{y_{\vec{u}}} \qquad
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\vec{v} = \vectCoord{x_{\vec{v}}}{y_{\vec{v}}}
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\]
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\[
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\vec{u} + \vec{v} = \vectCoord{x_{\vec{u}} + x_{\vec{v}}}{y_{\vec{u}} + y_{\vec{v}}}
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\]
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\hfill
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw[->, thick] (0, 0) -- (3, 1) node [midway, below] {$\vec{u}$};
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\draw[->, thick] (3, 1) -- (4, 3) node [midway, below] {$\vec{v}$};
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\draw[->, thick, dashed] (0, 0) -- (4, 3) node [midway, above left] {$\vec{u}+\vec{v}$};
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\subsection*{Norme d'un vecteur}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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La \textbf{norme} d'un vecteur est la distance entre ses deux extrémités. On la note
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\[
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||\vec{u}||
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\]
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\bigskip
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Dans un repère orthonormé, on peut faire le calcul suivant (qui revient à appliquer le théorème de Pythagore)
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\[
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||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}
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\]
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\hfill
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw[->] (-0.5, 0) -- (4,0);
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\draw[->] (0, -0.5) -- (0,2.5);
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\draw[->, thick] (1, 1) -- (4, 2) node [midway, above] {$\vec{u}$};
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\draw[dashed] (4, 1) -- (4, 2) node [midway, left] {$y$};
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\draw[dashed] (1, 1) -- (4, 1) node [midway, below] {$x$};
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{document}
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