74 lines
2.4 KiB
TeX
74 lines
2.4 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
\title{Équation avec l'exponentielle}
|
|
\tribe{Terminale ES}
|
|
\date{Mars 2020}
|
|
|
|
\pagestyle{empty}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Équations et exponentielle}]
|
|
Résoudre les équations et inéquation suivantes
|
|
\begin{multicols}{3}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $e^{3x} = e^{2x-1}$
|
|
\item $e^{x^2} = e^{4x + 1}$
|
|
\item $1 = e^{x^2 + 2x + 4}$
|
|
\item $e^{3x} \geq e^{-2x-4}$
|
|
\item $e^{x^2 - 2} > 1 $
|
|
\item $e^{x^2 + 2x + 4} < 0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Y a-t-il toujours des solutions?}]
|
|
On souhaite résoudre les équations du type
|
|
\[
|
|
e^x = a
|
|
\]
|
|
En vous aidant de la représentation graphique de la fonction exponentielle, conjecturer des réponses aux deux premières questions.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item À quelles conditions sur $a$, cette équation a-t-elle une solution?
|
|
\item Est-il possible que cette équation ait 2 solutions ou plus?
|
|
\item (*) Soit $a \in \intOO{0}{+\infty} = \R^{+*}$ démontrer que l'équation une unique solution sur $\R$ que l'on nommera $b$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
La dernière question de l'exercice démontre pour tout $a\in \intOO{0}{+\infty}$ il existe un unique $b \in \R$ tel que $e^{b} = a$. On peut alors définition la fonction qui à $a$ associe $b$, c'est le logiciel népérien: $\ln(a) = b$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\setcounter{enumi}{3}
|
|
\item (*) Démontrer que pour tout $x \in \R^{+*}$ on a $e^{\ln(x)} = x$.
|
|
\item (*) En déduire que pour tout $x \in \R^{+*}$ on a $\ln(e^x) = x$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Retour aux équations}]
|
|
Résoudre les équations et inéquation suivantes
|
|
\begin{multicols}{4}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $e^{x} = 5$
|
|
\item $e^{x} = 1$
|
|
\item $e^{x} = -10$
|
|
\item $e^{2x} = 3$
|
|
|
|
\item $e^{-3x} = 10$
|
|
\item $e^{5x+1} = 10$
|
|
\item $2e^{x} = 6$
|
|
\item $-3e^{x} = -9$
|
|
|
|
\item $4e^{x} + 1 = 6$
|
|
\item $-5e^{-x} + 1 = -1$
|
|
\item $4e^{x^2} - 3 = 6$
|
|
\item $-4e^{x+1} - 3 = 1$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\vfill
|
|
|
|
\printexercise{exercise}{1}
|
|
\printexercise{exercise}{2}
|
|
\printexercise{exercise}{3}
|
|
|
|
\end{document}
|