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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Équations différentielles linéaire d'ordre 1}
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\tribe{Terminale Tsti2d}
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\date{Avril 2020}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Technique}]
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\begin{enumerate}
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\item Résoudre les équations différentielles suivantes.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $y' = 2y + 5$
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\item $y' = -5y - 15$
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\item $2y' + 1 = y$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Résoudre les équations différentielles et fixer la constante.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $y' = 2y + 5$ et $y(0) = 5$
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\item $y' = -0,1y + 2$ et $y(1) = 5$
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\item $y'+ 2y = 1$ et $y(0) = -1$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Mélange d'eau douce et d'eau de mer}]
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Un réservoir contient \np{1000} litres d'eau douce dont la salinité est de $0.12g.L^{-1}$.
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Un soucis technique fait rentré de l'eau salée dans ce réservoir à un débit de $10L$ par minutes.
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On note $s(t)$ la salinité de l'eau (en $g.L^{-1}$) au temps $t$ (en minute).
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La modélisation physique du phénomène a établi que $s(t)$ devait être solution de l'équation différentielle suivante
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\[
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s'(t) = -0,01s(t) + 0.39
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Résoudre l'équation différentielle.
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\item On rappelle que à $t=0$, la salinité est de $0.12g.L^{-1}$ soit $s(0) = 0.12$. Démontrer que $s(t) = 39 - 38,88e^{-0,01t}$
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\item Quel sera alors la salinité au bout de 60minutes?
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\item Combien de temps faudra-t-il attendre avant que la salinité ne dépasse $3,9g.L^{-1}$?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Vitesse d'une bille}]
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On lâche une bille sans vitesse dans une colonne de liquide. On note $v(t)$ la vitesse instantanée (en $m.s^{-1}$) de la bille en fonction du temps (en $s$).
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La bille n'est soumis qu'à l'attraction terrestre et aux frottements du liquide qui freine la bille de façon proportionnelle à la vitesse. On en déduit l'équation différentielle qui contraint $s(t)$
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\[
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y' = -140y + 5,88
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Résoudre l'équation différentielle.
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\item Démontrer que la solution qui s'annule à $t=0$ est $s(t) = 0,042(1 - e^{-140t})$
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\item Tracer l'allure de la courbe et en déduire la limite de la vitesse de la bille.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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