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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Banque exercices - Suites}
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\tribe{Terminale Sti2d}
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\date{Septembre 2019}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation d'un véhicule}]
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Un transporteur a acheté en 2006 un véhicule fourgon de 9 tonnes au prix de \np{50200}\euro, taxes comprises. Compte tenu du nombre de kilimètres parcourus, le véhicule a perdu 20\% de sa valeur chaque année.
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\begin{enumerate}
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\item Pour tout entier $n$, on note $u_n$, la valeur résiduelle du véhicule l'année "2006+n".
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $u_1$. Interpréter le résultat.
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\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
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\item En déduire la nature et la raison de la suite $(u_n)$.
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\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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\item Calculer la valeur résiduelle du véhicule en 2012. Arrondir à l'euro.
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\item Au bout de combien d'année, le véhicule aura une valeur inférieur à 10\% de la valeur initiale?
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\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Comment interpréter ce résultat?
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\item On considère que le véhicule est à remplacer quand sa valeur est inférieure à \np{1000}\euro. Quelle est la durée de vie de ce véhicule?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Pour protéger l'environnement}]
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Pour répondre à une nouvelle norme antipollution, un important groupe industriel de l'agroalimentaire doit ramener progressivement sa quantité de rejets, qui est de \np{50000} tonnes par an en 2010, à une valeur inférieur ou égale à \np{30000}tonnes en 10ans au plus, soit une réduction de 40\%.
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Il s'engage à réduire chaque année sa quantité de rejets de 4\%(soit un taux annuel de diminution de 4\%).
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\begin{enumerate}
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\item S'il rejette \np{48000}tonnes en 2011, respecte-t-il son engagement?
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\item Pour tout entier $n$, on note $r_n$ la quantité de rejets de l'année "2010+n".
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\begin{enumerate}
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\item Exprimer $r_{n+1}$ en fonction de $r_n$. Quelle est la nature de $r_n$?
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\item Exprimer $r_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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\item Calculer à la tonne près, la quantité de rejets prévus pour l'année 2020. La norme sera-t-elle respectée en 2020?
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\item Un taux annuel de 5\% permettrait-il de respecter la norme?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Population de renard - BAC Polynésie 2017}]
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Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de
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\np{1240} renards à la fin de l'année 2016.
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On modélise par $u_n$ le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l'année
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$2016 + n$. On a donc $u_0 = \np{1240}$.
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\smallskip
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On estime à 15\,\% par an la baisse du nombre $u_n$.
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On suppose que cette évolution restera identique pour les années à venir.
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\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.}
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\medskip
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\textbf{Partie A}
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Montrer qu'à la fin de l'année 2017 ,la population de renards sera de \np{1054}.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Donner la valeur de $u_1$ puis calculer $u_2$.
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\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
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\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser ses éléments caractéristiques.
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\end{enumerate}
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\item Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à
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la fin de l'année 2020.
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\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Comment interpréter ce résultat ?
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\item Des scientifiques considèrent que l'espèce des renards présents dans le parc sera
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en situation d'extinction à partir du moment où le nombre de renards deviendra
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strictement inférieur à 100.
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À partir de quelle année l'espèce de renards présents dans le parc sera-t-elle en
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situation d'extinction ?
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\end{enumerate}
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\medskip
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\textbf{Partie B}
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\smallskip
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Afin de préserver l'espèce, on décide d'introduire à chaque année 30 renards à partir
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de la fin de l'année 2017.
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On note $v_n$ le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l'année $2016 + n$.
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On estime à 15\,\% par an la baisse du nombre $v_n$.
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On a $v_0=\np{1240}$.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $v_1$.
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\item \emph{Dans cette question, toute trace de réponse cohérente sera prise en compte.}
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On admet que pour tout entier naturel $n$ on a $v_n = 200 + \np{1040} \times 0,85^n$.
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Que pensez-vous de l'affirmation suivante : \og Le nombre de renards va diminuer
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et se stabiliser vers 200 \fg.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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