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18 KiB
TeX
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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%\usepackage[inline]{enumitem}
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%\usepackage{tasks}
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\title{Bac Blanc}
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\tribe{Terminale L-ES}
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\date{19 mars 2020}
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\duree{3h}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\titlepage
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\begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=4]
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\textbf{Commun à tous les candidats}
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\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'ajoutent ni ne retirent aucun point.\\
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Inscrire sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
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Aucune justification n'est demandée.}
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\begin{enumerate}
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\item On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\intFO{0}{+\infty}$. On pose
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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On pose
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\[
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I = \int_{1}^{3} f(x)dx
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\]
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Un encadrement de $I$ est
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\begin{enumerate}
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\item $1 \leq I \leq 3$
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\item $2 \leq I \leq 4$
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\item $5 \leq I \leq 7$
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\tkzInit[xmin=-0.1,xmax=5,ymax=5]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[color=red, line width=1pt]{4*x**2/(x**2+1)}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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||
\item On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
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La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\np{4095}$
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\item $\np{8191}$
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\item $\dfrac{1 -2^{14}}{1 - 2}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k''$ d'une fonction $k$
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définie sur $[0~;~+ \infty[$.
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\begin{center}
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%\def\f{x^2*(x^2-4)/3}
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\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=3]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=3,xstep=1,
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ymin=-2,ymax=3,ystep=1]
|
||
\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
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\tkzFct[domain=0:3, line width=1pt]{x*x*(x*x-4)/3}
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%\draw (2,3) node [above left] {$\Delta$};
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||
\end{tikzpicture}
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||
\end{center}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $k$ est concave sur l'intervalle [1~;~2]
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\item $k$ est convexe sur l'intervalle [0~;~2]
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||
\item $k$ est convexe sur $[0~;~+ \infty[$
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||
\item $k$ est concave sur $[0~;~+ \infty[$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Le prix d’un produit est passé de 200\euro\; à 100 \euro.
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||
Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’environ :
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item 50\%
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\item 25\%
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\item 29\%
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\item 71\%
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Location de voitures}, points=5]
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\textbf{Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L}
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\medskip
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Un loueur de voitures dispose au 1\ier{} mars 2015 d'un total de \np{10000} voitures pour l'Europe.
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Afin d'entretenir son parc, il décide de revendre, au 1\ier{} mars de chaque année, 25\,\% de son parc automobile et d'acheter \np{3000} voitures neuves.
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\smallskip
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On modélise le nombre de voitures de l'agence à l'aide d'une suite:
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Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1\ier{} mars de l'année $2015+n$.
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On a donc $u_0=\np{10000}$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars 2016.
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\item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n+\np{3000}$.
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\item Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par
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\hfill$v_n=u_n-\np{12000}$.\hfill{}
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\begin{enumerate}
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\item
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Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser son premier terme.
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\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
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\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
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\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{12000} - \np{2000} \times 0,75^n$.
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\item En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d'un grand nombre d'années?
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\end{enumerate}
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\item On admet dans cette question que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
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On aimerait déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins \np{11950} voitures.
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\begin{enumerate}
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\item Recopier l'algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu'il permette de répondre au problème posé.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|l @{\hspace*{0.5cm}}l|}
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\hline
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Initialisation & U prend la valeur \np{10000}\\
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& N prend la valeur 0\\
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Traitement & Tant que \dots\\
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& \hspace*{0.3cm} N prend la valeur \dots \hspace*{1cm}\ \\
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& \hspace*{0.3cm} U prend la valeur \dots\\
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& Fin Tant que\\
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Sortie & Afficher \dots\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année recherchée.
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%\item Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation
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% \hfill$\np{12000} - \np{2000}\times 0,75^n \geqslant \np{11950}$.\hfill{}
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\pagebreak
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\begin{exercise}[subtitle={Chasse-neige et automates}, points=5]
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\textbf{Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité}
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\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}
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\medskip
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\textbf{Partie 1}
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Suite à des intempéries, un chasse-neige doit déblayer toutes les routes reliant les stations de son secteur. On modélise ce secteur par le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les différentes stations désignées par des lettres. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, du chasse-neige entre deux stations.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.2]{./fig/graph_chasse_neige}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Ce graphe est-il connexe? Justifier.
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\item Le chasse-neige part de la station G. Peut-il partir de cette station et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes, matérialisées par les arêtes de ce graphe ?
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\item Une saleuse doit de même parcourir l'ensemble des routes du secteur après déblaiement de la neige. Elle est garée à la station A et, après son travail, peut se garer dans n'importe quelle station.
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||
Peut-elle parcourir une et une seule fois chacune des routes
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pour traiter l'ensemble du secteur ?
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\item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe, les sommets étant rangés dans \underline{l'ordre alphabétique}
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Déterminer $M$.
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\item On donne :
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\[
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M^4 = \begin{pmatrix}
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61 &48 &52 &28 &45 &55 &24\\
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48 &44 &41 &21 &42 &45 &20\\
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52 &41 &50 &25 &41 &52 &25\\
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28 &21 &25 &15 &20 &24 &10\\
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45 &42 &41 &20 &44 &48 &21\\
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55 &45 &52 &24 &48 &61 &28\\
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24 &20 &25 &\textbf{10} & 21 &28 &15
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\end{pmatrix}
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||
\]
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Interpréter dans le contexte de l'exercice le nombre $10$ figurant en caractère gras dans la matrice.
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\end{enumerate}
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\medskip
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\textbf{Partie 2}
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Pour accéder à un local d'une petite entreprise, les employés doivent choisir un code reconnu par l'automate suivant :
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.2]{./fig/graph_automate}
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\end{center}
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Une succession de lettres constitue un code possible si ces lettres se succèdent sur un chemin du graphe orienté ci-dessus, en partant du sommet $\pscirclebox{1}$ et en sortant au sommet $\pscirclebox{4}$.
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% \begin{list}{\textbullet}{Par exemple:}
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% \item le mot $bcbab$ est un mot reconnu par cet automate, et correspond au chemin 121334 ;
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% \item le mot $abac$ n'est pas reconnu par cet automate.
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% \end{list}
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\begin{enumerate}
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\item Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par cet automate ?
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\hfill{}$abab$, $abc$, $abbcbb$.\hfill{}
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\item Recopier et compléter la matrice d'adjacence
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$M=
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\begin{pmatrix}
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0 & 2 & 1 & 0\\
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\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
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\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
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||
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots
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||
\end{pmatrix}$
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associée au graphe orienté dans laquelle les sommets sont rangés dans l'ordre croissant.
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||
\item
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%Un logiciel de calcul formel donne
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%\[M^4=
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% \begin{pmatrix}
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% 5 & 3 & 10 & 5\\
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% 1 & 6 & 7 & 4 \\
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% 1 & 3 & 4 & 2 \\
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% 2 & 1 & 4 & 2
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||
% \end{pmatrix}
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% \qquad\text{et}\qquad
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% M^5=
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||
% \begin{pmatrix}
|
||
% 3 & 15 & 18 & 10\\
|
||
% 6 & 6 & 14 & 7\\
|
||
% 3 & 4 & 8 & 4\\
|
||
% 1 & 6 & 7 & 4
|
||
% \end{pmatrix}
|
||
%\]
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||
Combien de mots de 4 lettres sont-ils reconnus par l'automate ? Justifier. Quels sont-ils ?
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||
\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\pagebreak
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\begin{exercise}[subtitle={Bois et energie}, points=6]
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\textbf{Commun à tous les candidats}
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\medskip
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\textbf{La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.}
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\medskip
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L'entreprise \emph{BBE (Bio Bois Énergie)} fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des
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chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
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L'entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.
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\setlength\parindent{1cm}
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\begin{itemize}
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\item[$\bullet~~$] Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par :
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\[C(x) = 0,3x^2 - x + \text{e}^{- x + 5}\]
|
||
|
||
où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $C(x)$ le coût de fabrication quotidien
|
||
correspondant en centaines d'euros.
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||
\item[$\bullet~~$]Dans l'entreprise \emph{BBE} le prix de vente d'une tonne de granulés de bois est de $300$~euros.
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La recette quotidienne de l'entreprise est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle
|
||
[1~;~15] par:
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\[R(x) = 3x\]
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||
où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $R(x)$ la recette quotidienne correspondante
|
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en centaines d'euros.
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||
\item[$\bullet~~$]On définit par $D(x)$ le résultat net quotidien de l'entreprise en centaines d'euros, c'est-à-dire la différence entre la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$, où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes.
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||
\end{itemize}
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\setlength\parindent{0cm}
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\medskip
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\textbf{Partie A : Étude graphique}
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Sur le graphique ci-dessous, on donne $\mathcal{C}$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans un repère d'origine O.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.35, xscale=0.8]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=15,xstep=1,
|
||
ymin=0,ymax=54,ystep=2]
|
||
\tkzGrid
|
||
%\tkzGrid[sub, subxstep=0.2, subystep=200]
|
||
\tkzAxeXY%[up space=0.5,right space=.2]
|
||
\tkzFct[domain = 0:15, line width=1pt]{3*x}
|
||
\draw (2,23) node [left] {$\mathcal{C}$};
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||
\tkzFct[domain = 0:15, line width=1pt]{0.3*x**2-x+exp(-x+5)}
|
||
\draw (2,3) node [above left] {$\Delta$};
|
||
\end{tikzpicture}
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||
\end{center}
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||
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||
\textbf{Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n'est demandée.}
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\medskip
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\begin{enumerate}
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||
\item Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l'entreprise est
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||
minimal.
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||
\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer les valeurs $C(6)$ et $R(6)$ puis en déduire une estimation du résultat net
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||
quotidien en euros dégagé par l'entreprise pour 6~tonnes de granulés fabriqués et vendus.
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||
\item Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l'entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c'est-à-dire un bénéfice.
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||
\end{enumerate}
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||
\end{enumerate}
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||
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||
\medskip
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\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}
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On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par :
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\[g(x) = - 0,6x + 4 + \text{e}^{- x + 5}\]
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||
|
||
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~15] et on note $g'$ sa fonction dérivée.
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||
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||
\medskip
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||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15].
|
||
\item En déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [1~;~15].
|
||
\end{enumerate}
|
||
\item
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||
\begin{enumerate}
|
||
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~15], en précisant les valeurs $g(1)$ et $g(15)$ arrondies à l'unité.
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||
\item Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution $\alpha$ et donner une valeur approchée à 0,1 de cette solution
|
||
|
||
\item Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g(x)$ sur l'intervalle [1~;~15].
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\medskip
|
||
\textbf{Partie C : Application économique}
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||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15], on a :
|
||
|
||
\[D (x) = - 0,3x^2 + 4x - \text{e}^{- x + 5}\]
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||
|
||
\item On admet que la fonction $D$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~15] et on note $D'$ sa fonction dérivée.
|
||
|
||
Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15], on a $D'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie B.
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||
\item En déduire les variations de la fonction $D$ sur l'intervalle [1~;~15].
|
||
\item
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Pour quelle quantité de granulés l'entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?
|
||
|
||
On donnera une valeur approchée du résultat à $0,1$ tonne près.
|
||
\item Calculer alors le bénéfice maximal à l'euro près.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{exercise}
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\pagebreak
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\begin{exercise}[subtitle={Enquête client}, points=5]
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\textbf{Commun à tous les candidats}
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\medskip
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||
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième.
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À partir d'une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par :
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\begin{itemize}
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\item[$\bullet~~$] 60\,\% des clients sont des hommes ;
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||
\item[$\bullet~~$] 80\,\% des hommes mangent un dessert alors que seulement 45\,\% des femmes en mangent un.
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||
\end{itemize}
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||
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||
On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note :
|
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\begin{itemize}
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\item[$\bullet~~$] $H$ l'évènement \og le client interrogé est un homme \fg{};
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||
\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og le client interrogé a mangé un dessert \fg.
|
||
\end{itemize}
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||
|
||
On note également :
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\begin{itemize}
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\item[$\bullet~~$] $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$ ;
|
||
\item[$\bullet~~$] $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$.
|
||
\end{itemize}
|
||
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||
\medskip
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||
|
||
\textbf{Partie A}
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\begin{enumerate}
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||
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
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||
\item Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert.
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||
\item Montrer que $p(D) = 0,66$.
|
||
\item Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
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||
\end{enumerate}
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||
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||
\medskip
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||
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||
\textbf{Partie B}
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On rappelle que d'après cette enquête, la probabilité pour qu'un client ait mangé un dessert est de 0,66.
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|
||
La chaine de restaurant souhaite estimer le nombre de dessert à préparer à l'avance pour une salle de 60 personnes. Elle suppose alors que le choix des clients se fait de façon identique et indépendantes de celui de autres.
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||
|
||
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui veulent un dessert.
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$?
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||
\item Calculer la probabilité que 50 personnes souhaitent un dessert.
|
||
\item Quelle est la probabilité que moins de 10 clients souhaitent un dessert?
|
||
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur minimale de $a$ telle que $P(X \leq a) > 0,95$. Interpréter le résultat.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{exercise}
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||
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||
\end{document}
|
||
%%% Local Variables:
|
||
%%% mode: latex
|
||
%%% TeX-master: "master"
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||
%%% End:
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