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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage[linesnumbered, boxed, french]{algorithm2e}
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\pagestyle{empty}
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\title{Algorithme et suite}
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\date{Décembre 2019}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Démonstration de la limite de $q^n$}]
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Dans cet exercice, on souhaite démontrer que
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\[
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\mbox{Si } q>1 \mbox{ alors } \lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = +\infty
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\]
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Soit $q > 1$ donc il existe $a > 0$ tel que $q = 1 + a$.
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $q^2 > 1 + 2a$
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\item En déduire que $q^3 > 1 + 3a$
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\item En déduire que $q^4 > 1 + 4a$
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\item On a vu que pour démontrer les inégalités, on utilisait l'égalité précédente. On va vouloir généraliser cette façon pour toutes les inégalités. Autrement dit, on va supposer que
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\[
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q^n > 1 + n\times q \qquad \mbox{ est vraie.}
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\]
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Et vous devez démontrer que
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\[
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q^{n+1} > 1 + (n+1) q \qquad \mbox{ est vraie.}
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\]
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Ainsi, l'égalité est vraie quand $n=2$ et on sait que \textbf{si} elle est vraie pour $n$ \textbf{alors} elle est vraie pour $n+1$, on peut donc en déduire qu'elle est vraie pour tout $n$. C'est ce que l'on appelle un raisonnement par récurrence.
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\item Déterminer
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\[
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\lim_{n\rightarrow+\infty} 1 + n\times q
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\]
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\item En déduire
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\[
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\lim_{n\rightarrow+\infty} q^n
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\]
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\end{enumerate}
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Un raisonnement similaire peut être réalisé pour démontrer
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\[
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\mbox{Si } q\in \intOO{0}{1} \mbox{ alors } \lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = 0
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\]
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\end{exercise}
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\vfill
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\printexercise{exercise}{1}
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\vfill
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\end{document}
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