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Probabilité discrète et loi uniforme pour l'année 2019-2020 en terminale ES
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:date: 2019-10-01
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:modified: 2019-10-01
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:authors: Bertrand Benjamin
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:category: TESL
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:tags: Probabilité, Variable aléatoire
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:summary: Probabilité discrète vers la loi uniforme pour l'année 2019-2020 en terminale ESL
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Un des objectifs de cette séquence est de consolider les acquis au sujet des probabilités discrètes (calcul, espérance et représentation graphique) pour amener à élargir le concept de probabilité sur des ensembles continus.
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Étape 1: Variable aléatoire et espérance
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Exercice de la confiscation de téléphone portable. Chaque cours un élève sort son téléphone en classe et se le fait confisquer. Le prof en profite pour le revendre au marché noir. Le lendemain l'élève revient avec le même téléphone.
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On donne:
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- la répartition des téléphones par élèves
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- le prix de revente
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On va chercher combien en moyenne se fait le prof par cours puis sur un mois. Pour les élèves allant trop vite, on peut complexifier en demandant ce qui se passe si le prof confisque 2 téléphones.
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On invitera les élèves à tracer des tableaux et faire des graphiques pour illustrer leurs propos.
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Cahier de bord: Calcul d'une probabilité discrète, variable aléatoire
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Exercices techniques: Répétition d'expériences, utilisation de loi de probabilité, calcul d'espérance. On illustrera les concepts avec `des exemples <./1B_marche_noir.pdf>`_.
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Étape 2: Simulation avec le tableur
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.. image:: 2P_simulation.pdf
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:height: 200px
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:alt: Simulation avec le tableur
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Certainement un peu ambitieuse cette étape. Dans l'idée j'aimerai trouver une expérience aléatoire qu'on ne sait pas analyser mais que l'on pourrait simuler.
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Idée 1
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On va vouloir simuler une marche aléatoire en une dimension avec le tableur.
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On monte de 1 avec une probabilité de *p* et on descend de 1 autrement. Au départ, *p* sera fixé à 0.5 puis on ce posera la question de ce qui se passe si on modifie cette valeur.
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Pour faire de l'aléatoire avec le tableur, on ne peut utiliser que la fonction `ALEA` qui donne un nombre aléatoire entre 0 et 1. Il va falloir trouver comment adapter ce comportement pour choisir aléatoirement entre monter et descendre. C'est le but de ce TP. Ce questionnement devrait nous permettre d'approcher la loi uniforme.
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Ensuite les questions associée à cette marche pourront être le nombre de fois que l'on repasse par 0 en 1000 étapes. Ou quelles sont les valeurs maximales atteintes.
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Idée 2
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On va simuler l'exercice de l'étape 1. Le but étant de calculer le gain moyen de notre prof.
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Pour faire cette simulation, on aura besoin de `ALEA`. Il faudra alors trouver une astuce pour répartir les gains en fonctions des résultats données par cette fonction.
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Cahier de bord: Simulation d'une variable discrète avec `ALEA` (définie comme générant une variable aléatoire uniforme sur [0, 1]).
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Étape 3: Calcul d'une probabilité continue
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On va se donner une variable aléatoire uniforme sur un intervalle et on cherche à calculer la probabilité que le nombre sorti soit entre 2 bornes. On pourra commencer avec une loi uniforme sur [0, 1] pour faire le parallèle avec l'étape 2. Puis on pourra généraliser aux lois uniforme sur n'importe quel intervalle.
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Exercices techniques: Calculs de probabilité.
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Étape 4: Simulation pour calculer l'espérance d'une loi uniforme
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Avec le tableur, on va chercher à calculer l'espérance d'une loi uniforme sur [0, 1]. Aux élèves de trouver comment faire en s'inspirant de l'étape 2 idée 2!
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Puis on généralise à n'importe quel loi uniforme.
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Cahier de bord: Espérance de la loi uniforme.
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On ne peut pas à ce moment de l'année parler du calcule de l'aire sous la courbe. Si un élève souhaite avoir une démonstration du résultat, on lui demandera de patienter mais elle qu'elle arrivera en cours d'année.
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