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\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{tasks}
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% Title Page
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\title{DM2 \hfill \Var{Nom}}
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\tribe{TST}
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\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 24 février}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale}]
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%- set p = round(random(), 2)
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Trois personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $\Var{p}$.
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Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 3 personnes de ce groupe.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer l'arbre représentant le situation.
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\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
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\item Quelle est la probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique?
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\item Calculer puis interpréter les probabilités suivantes
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\[
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P(X = 0) \qquad \qquad P(X \geq 2)
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\]
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\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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%- set q = round(1-p, 2)
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {\Var{q}}
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}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {\Var{p}}
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}
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edge from parent
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node[above] {\Var{q}}
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}
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child[missing] {}
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child {node {$1$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {\Var{q}}
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}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {\Var{p}}
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}
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edge from parent
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node[above] {\Var{q}}
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}
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edge from parent
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node[above] {\Var{q}}
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}
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child[missing] {}
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child[missing] {}
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child[missing] {}
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child { node {$1$}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {\Var{q}}
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}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {\Var{p}}
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}
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edge from parent
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node[above] {\Var{q}}
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}
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child[missing] {}
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child {node {$1$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {\Var{q}}
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|
}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {\Var{p}}
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}
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edge from parent
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node[above] {\Var{q}}
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}
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edge from parent
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node[above] {\Var{p}}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\item Chaque personne a 2 possibilités (1: fait sonner ou 2: ne fait pas sonner) et l'on fait passer 3 personnes ce qui correspond à une répétition identique et aléatoire. On peut donc modéliser la situation par une loi binomiale.
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\[
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X \sim \mathcal{B}(3; \Var{0.76})
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\]
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%- set p0 = round(q**3, 3)
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%- set p1 = round(3*p*q**2, 3)
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%- set p2 = round(3*p**2*q, 3)
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%- set p3 = round(p**3, 3)
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\item Probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique. On voit qu'il y a 3 branches qui correspondent à cette situation dont
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\[
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P(X = 1) = 3 \times \Var{p}^1 \times \Var{q}^2 \approx \Var{p1}
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\]
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\item
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\[
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P(X = 0) = \Var{q}^3 \approx \Var{p0}
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\]
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\[
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|
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 3 \times \Var{p}^2 \times \Var{q}^1 + \Var{p}^3 \approx \Var{round(p2 + p3, 3)}
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\]
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\item Il faut d'abord tracer le tableau résumant la loi de probabilité:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
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\hline
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Valeur & 0 & 1 & 2 & 3 \\
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\hline
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Probabilité & $\Var{p0}$ & $\Var{p1}$ & $\Var{p2}$ &$\Var{p3}$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On peut alors calculer l'espérance
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%- set E = round(3*p, 3)
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\[
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E[X] = 0 \times \Var{p0} + 1 \times \Var{p1} + 2 \times \Var{p2} + 3 \times \Var{p3} = \Var{E}
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\]
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On peut donc estimer qu'il y aura en moyenne $\Var{E}$ personnes qui feront sonner le portique sur les 3 personnes.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Équation puissance}]
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Résoudre les équations et inéquations suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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%- set a1 = randint(1, 50)
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\item $10^x = \Var{a1}$
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%- set a2 = randint(1, 50)
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%- set b2 = randint(2, 20)
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\item $\Var{b2}^x = \Var{a2}$
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%- set a3 = randint(2, 50)
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%- set b3 = round(random(), 2)
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\item $\Var{b3}^x \leq \Var{a3}$
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%- set a4 = randint(2, 50)
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%- set b4 = round(random(), 2)
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%- set c4 = randint(2, 10)
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\item $\Var{c4} \times \Var{b4}^x = \Var{a4}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Les solutions ci-dessous ne sont pas justifiée car l'ordinateur ne sait pas faire. Par contre, vous vous devez savoir justifier vos réponses!
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\begin{enumerate}
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\item $x = \log(\Var{a1})$
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\item $x = \frac{\log(\Var{a2})}{\log(\Var{b2})}$
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\item Il faut faire attention quand on divise par un log car ce dernier peut être négatif ce qui est le cas ici. Il faut donc pense à changer le sens de l'inégalité.
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$x \geq \frac{\log(\Var{a3})}{\log(\Var{b3})}$
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\item Il faut penser à faire la division à par $\Var{c4}$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.
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$x = \frac{\log(\Var{round(a4/c4, 2)})}{\log(\Var{b4})}$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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%- set a_ = randint(-10, 10)
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%- set a = a_*3
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%- set x1 = randint(0, 50)
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%- set x2 = randint(-20, 20)
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%- set b = randint(-50, 50)
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%- set f = Polynom.from_coefficients([b, a*x1*x2, -a*(x1+x2)/2, a_])
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Soit $f(x) = \Var{f}$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
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\item Calculer $f'(\Var{x1})$ et $f'(\Var{x2})$.
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\item En déduire une forme factorisée de $f'(x)$.
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\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$.
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\item Est-ce que la fonction $f(x)$ admet un maximum ou un minimum? Si oui, calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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%- set fp = f.differentiate()
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\item Dérivée de $f(x)$: $f'(x) = \Var{fp}$
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\item
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\begin{align*}
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f'(\Var{x1}) &= \Var{fp(x1).explain() |join('\\\\&= ')}
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\end{align*}
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\begin{align*}
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f'(\Var{x2}) &= \Var{fp(x2).explain() |join('\\\\&= ')}
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\end{align*}
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Donc $x = \Var{x1}$ et $x=\Var{x2}$ sont des racines de $f'(x) = \Var{fp}$.
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\item On en déduit la forme factorisée suivante
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\[
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f'(x) = \Var{a} (x - \Var{x1})(x-\Var{x2})
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\]
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\item Pas de correction disponible
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\item À causes des branches extérieurs, la fonction $f(x)$ n'a pas de maximum ou de minimum.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%\printsolutionstype{exercise}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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