2020-2021/Complementaire/01_Binomiale_et_echantillon.../4B_coefBino_formule.tex

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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Binomiale et echantillonnage - Cours}
\date{Novembre 2020}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{section}{3}
\section{Coefficients binomiaux}
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$.
2020-12-02 14:04:29 +00:00
\textbf{Le coefficient binomial} $\coefBino{n}{k}$, se lit "$k$ parmi $n$", est le nombre de façon d'obtenir $k$ succès quand on fait $n$ répétitions ou encore le nombre de chemin avec $k$ succès dans un arbre avec $n$ étages.
Par convention, $\coefBino{0}{0} = 1$.
\end{bclogo}
\paragraph{Exemples}%
\afaire{Tracer l'arbre qui correspond à une loi binomiale $\mathcal{B}(3, 0.1)$. Lister le nombre succès possibles et le nombre de chemins qui y mène puis faire lien avec les coefficients binomiaux.}
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriétés}
Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$.
\[
\coefBino{n}{0} = \coefBino{n}{n} = 1 \qquad \qquad \coefBino{n-1}{k-1} + \coefBino{n-1}{k} = \coefBino{n}{k}
\]
Il est possible de calculer ces coefficients binomiaux grâce au triangle de Pascale.
\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\hline
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n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
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0 & & & & & & \\
\hline
2020-12-02 14:04:29 +00:00
1 & & & & & & \\
\hline
2020-12-02 14:04:29 +00:00
2 & & & & & & \\
\hline
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3 & & & & & & \\
\hline
2020-12-02 14:04:29 +00:00
4 & & & & & & \\
\hline
5 & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\afaire{Compléter le tableau en utilisant les règles de calculs.}
\end{bclogo}
\paragraph{Exemples}%
Nombre de façon de d'avoir 4 succès en 5 répétitions $\coefBino{...}{...} = ...$
\afaire{à compléter}
\section{Formules des probabilités pour la loi binomiale}
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriétés}
Soit $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ alors pour tout entier naturel $k$ inférieur à $n$
\[
P(X = k) = \coefBino{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
\end{bclogo}
\paragraph{Exemples}%
Soit $X \sim \mathcal{B}(5, 0.1)$ alors
\[
P(X = 3) =
\]
\afaire{à compléter}
\end{document}