204 lines
7.5 KiB
TeX
204 lines
7.5 KiB
TeX
|
\documentclass[a5paper,10pt]{article}
|
||
|
|
\usepackage{myXsim}
|
||
|
|
\usepackage{tasks}
|
||
|
|
|
||
|
|
% Title Page
|
||
|
|
\title{DM2 \hfill DARICHE Kaïs}
|
||
|
|
\tribe{TST}
|
||
|
|
\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 24 février}
|
||
|
|
|
||
|
|
\xsimsetup{
|
||
|
|
solution/print = false
|
||
|
|
}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
\maketitle
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale}]
|
||
|
|
Trois personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0.16$.
|
||
|
|
|
||
|
|
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 3 personnes de ce groupe.
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Tracer l'arbre représentant le situation.
|
||
|
|
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
|
||
|
|
\item Quelle est la probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique?
|
||
|
|
\item Calculer puis interpréter les probabilités suivantes
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
P(X = 0) \qquad \qquad P(X \geq 2)
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||
|
|
\node {.}
|
||
|
|
child {node {$0$}
|
||
|
|
child {node {$0$}
|
||
|
|
child {node {$0$}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.84}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
child {node {$1$}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.16}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.84}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
child[missing] {}
|
||
|
|
child {node {$1$}
|
||
|
|
child {node {$0$}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.84}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
child {node {$1$}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.16}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.84}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.84}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
child[missing] {}
|
||
|
|
child[missing] {}
|
||
|
|
child[missing] {}
|
||
|
|
child { node {$1$}
|
||
|
|
child {node {$0$}
|
||
|
|
child {node {$0$}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.84}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
child {node {$1$}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.16}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.84}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
child[missing] {}
|
||
|
|
child {node {$1$}
|
||
|
|
child {node {$0$}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.84}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
child {node {$1$}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.16}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.84}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
edge from parent
|
||
|
|
node[above] {0.16}
|
||
|
|
} ;
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\item Chaque personne a 2 possibilités (1: fait sonner ou 2: ne fait pas sonner) et l'on fait passer 3 personnes ce qui correspond à une répétition identique et aléatoire. On peut donc modéliser la situation par une loi binomiale.
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
X \sim \mathcal{B}(3; 0.76)
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique. On voit qu'il y a 3 branches qui correspondent à cette situation dont
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
P(X = 1) = 3 \times 0.16^1 \times 0.84^2 \approx 0.339
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
P(X = 0) = 0.84^3 \approx 0.593
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 3 \times 0.16^2 \times 0.84^1 + 0.16^3 \approx 0.069
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Il faut d'abord tracer le tableau résumant la loi de probabilité:
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
Valeur & 0 & 1 & 2 & 3 \\
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
Probabilité & $0.593$ & $0.339$ & $0.065$ &$0.004$ \\
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
\end{tabular}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
On peut alors calculer l'espérance
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
E[X] = 0 \times 0.593 + 1 \times 0.339 + 2 \times 0.065 + 3 \times 0.004 = 0.48
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
On peut donc estimer qu'il y aura en moyenne $0.48$ personnes qui feront sonner le portique sur les 3 personnes.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Équation puissance}]
|
||
|
|
Résoudre les équations et inéquations suivantes
|
||
|
|
\begin{multicols}{2}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item $10^x = 35$
|
||
|
|
\item $14^x = 11$
|
||
|
|
\item $0.39^x \leq 48$
|
||
|
|
\item $3 \times 0.07^x = 4$
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{multicols}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
Les solutions ci-dessous ne sont pas justifiée car l'ordinateur ne sait pas faire. Par contre, vous vous devez savoir justifier vos réponses!
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item $x = \log(35)$
|
||
|
|
\item $x = \frac{\log(11)}{\log(14)}$
|
||
|
|
\item Il faut faire attention quand on divise par un log car ce dernier peut être négatif ce qui est le cas ici. Il faut donc pense à changer le sens de l'inégalité.
|
||
|
|
|
||
|
|
$x \geq \frac{\log(48)}{\log(0.39)}$
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Il faut penser à faire la division à par $3$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.
|
||
|
|
|
||
|
|
$x = \frac{\log(1.33)}{\log(0.07)}$
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||
|
|
Soit $f(x) = x^3 - 54x^2 + 780x + 36$ une fonction définie sur $\R$.
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
|
||
|
|
\item Calculer $f'(26)$ et $f'(10)$.
|
||
|
|
\item En déduire une forme factorisée de $f'(x)$.
|
||
|
|
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$.
|
||
|
|
\item Est-ce que la fonction $f(x)$ admet un maximum ou un minimum? Si oui, calculer sa valeur.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Dérivée de $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - 108x + 780$
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
f'(26) &= 3 \times 26^{2} - 108 \times 26 + 780\\&= 3 \times 676 - 2808 + 780\\&= 2028 - 2028\\&= 0
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
f'(10) &= 3 \times 10^{2} - 108 \times 10 + 780\\&= 3 \times 100 - 1080 + 780\\&= 300 - 300\\&= 0
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
Donc $x = 26$ et $x=10$ sont des racines de $f'(x) = 3x^2 - 108x + 780$.
|
||
|
|
\item On en déduit la forme factorisée suivante
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
f'(x) = 3 (x - 26)(x-10)
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Pas de correction disponible
|
||
|
|
\item À causes des branches extérieurs, la fonction $f(x)$ n'a pas de maximum ou de minimum.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
%\printsolutionstype{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
%%% Local Variables:
|
||
|
|
%%% mode: latex
|
||
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
||
|
|
%%% End:
|