2020-2021/TST/05_Etude_Polynomes/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
    Tracer le tableau de signe des polynômes suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 2x + 3$
            \item $g(x) = 4(-x + 2)$
            \item $h(x) = -3(4 - 5x)$

            \item $i(x) = (2x - 1)(3x + 2)$
            \item $j(x) = (5x + 3)(-2x - 6)$
            \item $k(x) = 0.5(4x - 12)(-x + 1)$

            \item $l(x) = 3(x + 2)(x - 5)$
            \item $m(x) = -2(-x + 2)(-2x + 2)$
            \item $n(x) = -0.1(6x - 5)(0.2x + 2)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
    On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
    \[
        f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
        \item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
        \item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
    On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
    \[
        f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
        \item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
        \item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Profit masqués}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
    Un usine produit chaque jours entre 0 et 50 milles masques. Une étude statistique a montré que les bénéfices pouvaient être modélisés par la fonction suivante:
    \[
        f(x) = x^3 - 96x^2+2489,25x - \np{10171,25}
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $f(x) = (x-5)(x-39,5)(x-51,5)$.
        \item Étudier le signe de $f(x)$.
        \item En déduire le nombre de masque que l'entreprise doit produire pour gagner de l'argent.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Vienoiseries}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
    % Inspiré de T1CMATH00290
    Un artisan produit et vend des sachets de viennoiseries. En notant, $x$ le nombre de sachets de viennoiseries ses coûts sont calculables avec la formule suivante:
    \[
        C(x) = x^3 - 120x^2 + 10x
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer le coût de production pour 75 sachets.
        \item Chaque sachet est vendu 10\euro. On rappelle que les bénéfices se calculent en faisant la différence (la soustraction) des recettes et des coûts.
            \begin{enumerate}
                \item On suppose que l'on vend 50 lots. Calculer les recettes, les coûts puis les bénéfices.

                \item Justifier que le bénéfice se calcule alors avec la formule suivante:
                    \[
                        B(x) = - x^3 + 120x^2
                    \]
                \item Démontrer que $B(x)$ peut s'écrire
                    \[
                        B(x) = x^2(120-x)
                    \]
                \item Étudier le signe de $B(x)$.
                \item En déduire la production maximal avant que l'artisan commence à perdre de l'argent.
            \end{enumerate}
        \item Recherche du maximum des bénéfices.
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
                \item Montrer que l'on peut écrire
                    \[
                        B'(x) = 3x(80-x)
                    \]
                \item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
                \item En déduire le nombre de sachet que l'artisan doit produire pour maximiser ses bénéfices.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}
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