2020-2021/TST/05_Etude_Polynomes/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
    Tracer le tableau de signe des polynômes suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 2x + 3$
            \item $g(x) = 4(-x + 2)$
            \item $h(x) = -3(4 - 5x)$

            \item $i(x) = (2x - 1)(3x + 2)$
            \item $j(x) = (5x + 3)(-2x - 6)$
            \item $k(x) = 0.5(4x - 12)(-x + 1)$

            \item $l(x) = 3(x + 2)(x - 5)$
            \item $m(x) = -2(-x + 2)(-2x + 2)$
            \item $n(x) = -0.1(6x - 5)(0.2x + 2)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
    On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
    \[
        f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
        \item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
        \item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
    On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
    \[
        f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
        \item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
        \item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Profit masqués}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
    Un usine produit chaque jours entre 0 et 50 milles masques. Une étude statistique a montré que les bénéfices pouvaient être modélisés par la fonction suivante:
    \[
        f(x) = x^3 - 96x^2+2489,25x - \np{10171,25}
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $f(x) = (x-5)(x-39,5)(x-51,5)$.
        \item Étudier le signe de $f(x)$.
        \item En déduire le nombre de masque que l'entreprise doit produire pour gagner de l'argent.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Vienoiseries}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
    % Inspiré de T1CMATH00290
    Un artisan produit et vend des sachets de viennoiseries. En notant, $x$ le nombre de sachets de viennoiseries ses coûts sont calculables avec la formule suivante:
    \[
        C(x) = x^3 - 120x^2 + 10x
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer le coût de production pour 75 sachets.
        \item Chaque sachet est vendu 10\euro. On rappelle que les bénéfices se calculent en faisant la différence (la soustraction) des recettes et des coûts.
            \begin{enumerate}
                \item On suppose que l'on vend 50 lots. Calculer les recettes, les coûts puis les bénéfices.

                \item Justifier que le bénéfice se calcule alors avec la formule suivante:
                    \[
                        B(x) = - x^3 + 120x^2
                    \]
                \item Démontrer que $B(x)$ peut s'écrire
                    \[
                        B(x) = x^2(120-x)
                    \]
                \item Étudier le signe de $B(x)$.
                \item En déduire la production maximal avant que l'artisan commence à perdre de l'argent.
            \end{enumerate}
        \item Recherche du maximum des bénéfices.
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
                \item Montrer que l'on peut écrire
                    \[
                        B'(x) = 3x(80-x)
                    \]
                \item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
                \item En déduire le nombre de sachet que l'artisan doit produire pour maximiser ses bénéfices.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Développer}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
    Identifier les racines des polynômes suivants puis les développer.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = (x+4)(x-2)$
            \item $g(x) = (x-3)(x-8)$
            \item $h(x) = 2(x-4)(x-8)$
            \item $i(x) = -3(x-1)(x-6)$
            \item $j(x) = 10(x-2)(x-5)$
            \item $k(x) = 0.5(x+1)(x+9)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Racines}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
    Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier    
    \begin{enumerate}
        \item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3x^2-2x-3$.
        \item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
        \item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
        \item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
    \begin{enumerate}
        \item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
            \[
                f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 2(x-5)(x-0.2)
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
                \item Est-ce que $f(x)$ et $g(x)$ sont égales?
            \end{enumerate}
        \item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
            \[
                h(x) = x^2 + 2x - 15
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
                \item Démontrer que les valeurs trouvées à la questions précédentes sont bien des racines de $h(x)$.
                \item Déterminer la forme factorisée de $h(x)$
                \item En déduire, sans utiliser le graphique, le tableau de signe de $h(x)$.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
    Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
    \begin{enumerate}
        \item On veut factoriser puis étudier le signe de $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
                \item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
                    \[
                        -3\qquad -2 \qquad 0 \qquad \qquad 2 \qquad 5
                    \]
                \item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
                \item En déduire le tableau de signe de $f(x)$.
            \end{enumerate}
        \item On veut factoriser puis étudier le signe de $g(x) = 0.1x^3 - 0.2x^2 - 0.5x + 0.6$.
            \begin{enumerate}
                \item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
                \item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
                \item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
                \item Étudier le signe de $g(x)$.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Constructeur de Machins}, step={3}, origin={Nathan 2ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
    Une entreprise fabrique des \textit{machins}. Chaque jour, elle peut en produire entre 0 et 80 tonnes.

    Le coût de fabrication, en euros, de $x$ tonnes est modélisé par la fonction $C(x)$ représentée dans le graphique ci-dessous.

    \noindent
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{enumerate}
            \item \textbf{Lecture graphique:} Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
                \begin{enumerate}
                    \item Combien coûte la production de 50tonnes de \textit{machins}.
                    \item Quelle quantité de \textit{machins} peut-on produire pour une coût de fabrication de \np{100000}\euro?
                \end{enumerate}
            \item \textbf{Étude des recettes:} Une tonne de \textit{machins} est vendue \np{1900}\euros. La recette pour $x$ tonnes peut donc être modélisée par la fonction $R(x) = 1900x$.
                \begin{enumerate}
                    \item Reproduire la représentation graphique de la fonction $R(x)$.
                    \item L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices en produisant 10tonnes?
                    \item Déterminer graphiquement les productions où ses bénéfices sont positifs.
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.5, yscale=0.4]
            \tkzInit[xmin=0,xmax=80,xstep=5,
            ymin=0,ymax=160000,ystep=10000]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY
            \tkzFct[domain=0:80,color=red,very thick]%
            { \x**3 - 105*\x**2 + 3700*\x + 4000 };
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{2}
    \item \textbf{Étude des bénéfices:} On admet que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction $B(x) = -x^3 + 105x^2 -1800x - 4000$ sur $\intFF{0}{80}$.
        \begin{enumerate}
            \item Calculer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
            \item Calculer $B'(10)$ et $B'(60)$
            \item En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
            \item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
            \item Compléter le tableau de variations de $B(x)$ avec les valeurs au bout des flèches.
            \item  Quelle quantité doit produire l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximal. Que vaut ce bénéfice?
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Producteur de carottes}, step={3}, origin={Nathan 1ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
    Une entrepise produit et vend des carottes. Elle a la capacité de produire entre 0 et 16 tonnes.

    Le coût de production, en euro, de $x$ tonnes est modélisé par la fonnction
    \[
        C(x) = x^3 - 15x^2 + 78xx -650
    \]
    Chaque tonne de carottes est vendue 150\euro.
    \begin{enumerate}
        \item \textbf{Production de 3 tonnes de carottes}
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer le coût de production de 3 tonnes de carottes.
                \item Déterminer les revenus de la vente de 3 tonnes.
                \item En déduire les bénéfices. L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices?
            \end{enumerate}
        \item \textbf{Étude des bénéfices}
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer l'expression des revenus $R(x)$ pour $x$ tonnes de carottes vendues.
                \item En déduire que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction
                    \[ B(x) = -x^3 + 15x^2 + 72x + 650 \]
                \item Calculer $B'(x)$
                \item Calculer $B'(-2)$ et $B'(12)$. En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
                \item Étudier le signe de $B'(x)$ puis en déduire les variations de $B(x)$ pour $x$ variant entre 0 et 16.
                \item Quelles quantité de carottes doivent être vendues pour avoir un bénéfice maximal? Quel est alors ce bénéfice?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Volume d'une boite}, step={3}, origin={Création}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
    \notindent
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        \textit{Cet exercice est une tache complexe. C'est à vous d'explorer et de mettre les maths qui vous semblent appropriés pour résoudre le problème}.

        \medskip

        On dispose d'une feuille cartonnée pour construire des boites sans couvercle.


        Où doit-on plier les bords pour avoir une boite la plus grande possible?

    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \includegraphics[scale=0.3]{./fig/boite}
        
    \end{minipage}
\end{exercise}

\collectexercisesstop{banque}