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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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% Title Page
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\title{DS 3}
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\tribe{Terminale STI2D}
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\date{12 novembre 2020}
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\duree{1h}
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\setlength{\columnseprule}{0}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, points=6]
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Dans cet exerice les questions sont indépendantes.
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Complexes}, points=6]
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On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ qui vérifie $i^2 = -1$.
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\medskip
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On note $z_A$, $z_B$ et $z_C$ les nombres complexes suivants
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\[
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z_A = -2 - 2i \qquad \qquad z_B = 2i + 4 \qquad \qquad z_C = -1 + \sqrt{3}i
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le conjugué de $z_A$
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\item Calculer les quantités suivantes
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\[
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z_D = z_A + z_B \qquad z_E = z_B \times z_A \qquad z_F = \frac{z_A}{z_B}
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\]
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\item Calculer le module et l'argument de $z_C$.
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\item Soit $Z$ le nombre complexe de module $r = 3$ et d'argument $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$.
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\item Placer les points $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $Z$ sur le plan complexe mis en annexe.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Citerne}, points=1]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $12m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
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On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/citerne}
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\end{minipage}
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\begin{enumerate}
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\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
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\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{4}{x}$.
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\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
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\[
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S(x) = 6x + 8 + \frac{24}{x}
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\]
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\item Démontrer que
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\[
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S'(x) = \frac{6x^2-24}{x^2}
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\]
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\item Démontrer que
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\[
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S'(x) = \frac{6(x-2)(x+2)}{x^2}
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\]
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\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$ est .
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, $S(x)$/2}{$0$, $2$, $10$}
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\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
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\end{tikzpicture}
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\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\pagebreak
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\center{\Large Annexe}
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\vfill
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1.5, yscale=1.5]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\draw (1, 0) node [below right] {1};
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\draw (0, 1) node [above left] {$i$};
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\draw [->, very thick] (-5, 0) -- (5, 0);
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\draw [->, very thick] (0, -5) -- (0, 5);
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%\tkzAxeXY
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\foreach \x in {0,1,...,5} {
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% dots at each point
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\draw[black] (0, 0) circle(\x);
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}
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\end{tikzpicture}
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\vfill
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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