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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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% Title Page
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\title{DM1 \hfill PERDRIX Camille}
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\tribe{Maths complémentaire}
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\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
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\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $8m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
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On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\begin{tikzpicture}
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\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
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\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
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\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\begin{enumerate}
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\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
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\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{2}{x}$.
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\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
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\[
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S(x) = 8x + 4 + \frac{16}{x}
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\]
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\item Démontrer que
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\[
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S(x) = \frac{8x^2 + 4x + 16}{x}
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\]
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\item Démontrer que
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\[
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S'(x) = \frac{8x^2 - 16}{x^2}
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\]
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\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
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\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
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\begin{itemize}
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\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $2 / 2$
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\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $2 / 3$
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\end{itemize}
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\item Pour calculer le volume, on a
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\begin{eqnarray*}
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V &=& h\times x \times 4 \\
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8 &=& h\times x \times 4 \\
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x &=& \frac{8}{h\times 4} = \frac{2}{h}
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\end{eqnarray*}
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\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
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\begin{eqnarray*}
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S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
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S(x) &=& x\times \frac{2}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{2}{x}\times 4\times 2\\
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S(x) &=& 8x + 4 + \frac{16}{x}
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\end{eqnarray*}
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\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
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\begin{eqnarray*}
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S(x) &=& 8x + 4 + \frac{16}{x}\\
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S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{4\times x}{x} + \frac{16}{x}\\
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S(x) &=& \frac{8x^2 + 4x + 16}{x}
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\end{eqnarray*}
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\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
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\[
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u(x) = 8x^2 + 4x + 16 \Rightarrow u'(x) = 16x + 4
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\]
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\[
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v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
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\]
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Donc au numérateur on obtient
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\begin{eqnarray*}
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u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (16x + 4)\times x - (8x^2 + 4x + 16)\times 1\\
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&=& 8x^2 - 16
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\end{eqnarray*}
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Donc
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\[
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S'(x) = \frac{8x^2 - 16}{x^2}
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\]
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\item Tableau de variations de $S$
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\begin{itemize}
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\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
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\item Signe de $8x^2 - 16$: c'est un polynôme du 2e degré
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\[
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\Delta = 512 > 0
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\]
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Il y a donc 2 racines
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\[
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x_1 = - 1.4142135623730951 \qquad
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x_2 = 1.4142135623730951
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\]
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Et on sait que $8x^2 - 16$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
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\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
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\item Tableau de variations
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$8x^2 - 16$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.4142135623730951$, $10$}
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\tkzTabLine{d,-, z, +, }
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\tkzTabLine{d,+, , +, }
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\tkzTabLine{d,-, z, +, }
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\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
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\end{tikzpicture}
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\end{itemize}
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\item On a donc une surface minimal pour $x=1.4142135623730951$ et $h = 2.8284271247461902$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
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Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
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\[
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f(x) = \left(- x^{2} + 8.3 x - 5.0\right) e^{- x} + 5.0
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\]
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On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
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\begin{enumerate}
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\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
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\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
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\[
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F(x) = 5.0 x + \left( x^{2} - 6.3 x - 1.3\right) e^{- x}
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\]
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\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
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\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
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ymin=0,ymax=10,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
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{ (-x**2 + 8.3*x - 5.0)*exp(-x) + 5.0 };
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\end{tikzpicture}
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\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
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\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 21.3 - \frac{10.5}{e^{4}}$
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\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
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\[
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(21.3 - \frac{10.5}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 18997.00000
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|
\]
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
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\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
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\bigskip
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\textbf{Partie A}
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\medskip
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Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
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L'atelier A fabrique 66.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 35.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
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De plus, 28.000000000000004\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
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Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
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On considère les évènements suivants:
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\begin{itemize}
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\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
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\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
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\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$A$}
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child {node {$D$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child {node {$\overline{D}$}
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|
edge from parent
|
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|
node[above] {...}
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}
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|
edge from parent
|
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|
node[above] {...}
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}
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child[missing] {}
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child { node {$B$}
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child {node {$D$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child {node {$\overline{D}$}
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|
edge from parent
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|
node[above] {...}
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}
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|
edge from parent
|
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|
node[above] {...}
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} ;
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{minipage}
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\medskip
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
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\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
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|
\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
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|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.51$.
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|
\end{enumerate}
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|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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Dans cette partie, on suppose que 51.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
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|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
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Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
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On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
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On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
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\medskip
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|
\begin{enumerate}
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|
\setcounter{enumi}{4}
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|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
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\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 11)$.
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|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
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|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
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\end{enumerate}
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|
\pagebreak
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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|
\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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|
\node {.}
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child {node {$A$}
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child {node {$D$}
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edge from parent
|
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node[above] {0.35}
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|
|
}
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|
child {node {$\overline{D}$}
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|
edge from parent
|
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|
node[above] {0.65}
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|
|
}
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|
|
edge from parent
|
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|
|
node[above] {0.66}
|
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|
|
}
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child[missing] {}
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child { node {$B$}
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child {node {$D$}
|
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|
|
edge from parent
|
|||
|
|
node[above] {0.81}
|
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|
|
}
|
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|
|
child {node {$\overline{D}$}
|
|||
|
|
edge from parent
|
|||
|
|
node[above] {0.19}
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
edge from parent
|
|||
|
|
node[above] {0.34}
|
|||
|
|
} ;
|
|||
|
|
\end{tikzpicture}
|
|||
|
|
\end{center}
|
|||
|
|
\item
|
|||
|
|
\begin{itemize}
|
|||
|
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
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|
\[
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|
|
P(A) = 0.66
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|
\]
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|
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
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|
|
\[
|
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|
|
P(B) = 0.34
|
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|
|
\]
|
|||
|
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
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|
|
\[
|
|||
|
|
P_A(D) = 0.35
|
|||
|
|
\]
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\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
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\[
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P(D \cap D) = 0.28
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\]
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\end{itemize}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
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\[
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P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.66 \times 0.35 = 0.23
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\]
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\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
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\[
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P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.23 + 0.28 = 0.51
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\]
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\end{enumerate}
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\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
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\[
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P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.23}{0.51} = 0.45
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\]
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\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=19$ et $p=0.51$.
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\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
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\[
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P(X = 11) = \coefBino{19}{11}\times 0.51^{11} \times 0.49^{8}
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\]
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\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
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Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
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\[
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P(X = 0) = \coefBino{19}{0}\times 0.51^{0} \times 0.49^{19}
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\]
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Puis comparer ce nombre à 0,5.
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\item Il faut calculer l'espérance
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\[
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E[X] = n\times p = 19 \times 0.51 = 9.69
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\]
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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