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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{tasks}
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% Title Page
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\title{DM1 \hfill EVRARD Jules}
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\tribe{TST sti2d}
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\date{\hfillÀ render pour le jeudi 25 février}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{exercise}[subtitle={Complexes}]
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\begin{enumerate}
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\item Mettre le nombre complexe suivant sous forme algébrique $z_1 = \dfrac{8 + 3 i}{-9 + 3 i} $
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\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_2 = 3 - 3 \sqrt{3} i$
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\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_3 = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$
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\item Calculer le produit $z_4=z_2\times z_3$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
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\item Calculer le quotient $z_5=\frac{z_2}{z_3}$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item $z_1 = - \frac{7}{10} - \frac{17 i}{30}$
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\item $z_3 = 6 e^{- \frac{i \pi}{3}}$
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\item $z_4 = 12 e^{- \frac{7 i \pi}{12}} = - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2} + i \left(- 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}\right) = -3.11 - 11.6 i$
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\item $z_5 = 3 e^{- \frac{i \pi}{12}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{6}}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{6}}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{4}\right) = 2.9 - 0.776 i$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
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Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C_f}$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
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\[
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f(x) = \left(- x^{2} + 0.9 x - 3.2\right) e^{- x} + 3.2
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\]
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On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
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\begin{enumerate}
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\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
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\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
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\[
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F(x) = 3.2 x + \left( x^{2} + 1.1 x + 4.3\right) e^{- x}
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\]
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\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
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\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
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ymin=0,ymax=10,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
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{ (-x**2 + 0.9*x - 3.2)*exp(-x) + 3.2 };
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\end{tikzpicture}
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\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
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\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{24.7}{e^{4}} + 8.5$
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\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
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\[
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(\frac{24.7}{e^{4}} + 8.5)\times 4 \times 15^2 = 8057.000000
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\]
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
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Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d'un mélange composé de calcaire et d'argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l'air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$).
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Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s'effectue de 7 h 30 à 20 h, dans une pièce de volume \np{800000}~dm$^3$.
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À 20 h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de 1.0\,\%.
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\begin{enumerate}
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\item Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de \np{8000}~dm$^3$ .
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\item On modélise le volume de CO$_2$ présent dans la pièce par une fonction du temps $t$ écoulé après 20h (exprimé en minutes) qui pour formule $V(t) = V_0e^{-0.02t} + 560$
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $V_0$ est égale à \np{7440}.
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\item Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à 23 h ?
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\item Démontrer que $V'(t) = - 148.8 e^{- 0.02 t}$.
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\item Étudier le signe de $V'(t)$ puis en déduire le sens de variation de $V(t)$.
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\item Que peut-on dire du volume de CO$_2$ quand $t$ devient grand?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Volume à 20h: $800000\times 0.01 = 8000$
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\item
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\begin{enumerate}
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\item $t=0$ correspond à 20h.
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Donc $V(0) = 8000 = V_0e^{-0.02\times 0} + 560 = V_0 + 560$
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Donc $V_0 = 8000 - 560 = 7440$
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\item Il faut calculer $V(t)$ pour $t = 3$ donc
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\[
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V(3) = 7566.73
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\]
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\item Pas de correction pour cette question.
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\item Pas de correction pour cette question.
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\item Pas de correction pour cette question.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% mode: latex
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