2020-2021/TST/12_Fonction_inverse/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={"factorisation"}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
    Démontrer les égalités suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $x + 1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x^2 + x + 1}{x}$ 
            \item $x + 1 + \dfrac{-1}{x^2} = \dfrac{x^3 + x^2 - 1}{x^2}$ 

            \item $2x - 5 +  \dfrac{5}{x^2} = \dfrac{2x^3 -5 x^2 + 5}{x^2}$ 
            \item $\dfrac{3}{x} + 2x + 1= \dfrac{2x^2 + x + 3}{x}$ 

            \item $1 - \dfrac{121}{x^2} = \dfrac{(x-11)(x+11)}{x^2}$ 
            \item $9 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{(3x - 1)(3x+1)}{x^2}$ 
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
    \begin{enumerate}
        \item Dériver les fonctions suivantes
        \begin{multicols}{4}
            \begin{enumerate}
                \item $f(x) = x - 6 + \dfrac{4}{x}$
                \item $g(x) = 2x + 4 + \dfrac{8}{x}$
                \item $h(x) = x + 2 + \dfrac{1}{x}$
                \item $i(x) =  3x + 40 + \dfrac{2700}{x}$
            \end{enumerate}
        \end{multicols}
        \item En réutilisant les fonctions ci-dessus démontrer que l'on peut mettre leur dérivée sous la forme suivante
            \begin{multicols}{2}
                \begin{enumerate}
                    \item $f'(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$
                    \item $g'(x) = \dfrac{(2x-2)(x+1)}{x^2}$
                    \item $h'(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$
                    \item $i'(x) = \dfrac{3(x-30)(x+30)}{x^2}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item Pour chacune des fonctions, étudier le signe de leur dérivée puis en déduire leurs variations.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Histoire de coûts}, step={3}, origin={Sigma 140p122}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
    \begin{definition}
        Le \textbf{coût moyen unitaire} quand on fabrique $q$ unité est $C_m(q) = \frac{C(q)}{q}$ où $C(q)$ est le coût total pour produire $q$ unités.
    \end{definition}
    \noindent
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        Une entreprise fabrique chaque jour entre $0$ et $30m^3$ de produit chimique.
        \begin{enumerate}
            \item Soit $C$ la fonction qui modélise ses coûts de fabrication. Elle est définie sur l'intervalle $\intFF{0}{30}$ par $C(x) = x^2 + 50x + 100$ et exprimée en euros.
                \begin{enumerate}
                    \item Calculer le coût de production total pour $10m^3$.
                    \item Calculer le coût moyen unitaire pour $10m^3$.
                \end{enumerate}
            \item On définit la fonction $f$ qui modélise le coût moyen unitaire en fonction de la quantité $x$ par la fonction $f(x) = \frac{C(x)}{x}$ sur l'intervalle $\intFF{1}{30}$. On a représenté cette fonction ci-contre.

            \begin{enumerate}
                \item Déterminer graphiquement une valeur approchée de $f(5)$ puis de $f(25)$.
                \item Déterminer graphiquement quelles quantité doivent être produite pour avoir un coût unitaire moyen inférieur à 80.
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}    
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.4]
            \tkzInit[xmin=0,xmax=30,xstep=5,
            ymin=0,ymax=150,ystep=10]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY
            \tkzFct[domain=1:30,color=red,very thick]%
            {\x+50+100/\x};
        \end{tikzpicture}
        
    \end{minipage}

    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{2}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que $f(x) = x + 50 + \frac{100}{x}$..
                \item Dériver la fonction $f$ puis démontrer que l'on a
                    \[
                        f'(x) = \frac{(x-10)(x+10)}{x^2}
                    \]
                \item Étudier le signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
                \item Déterminer la quantité à produire pour que le coût moyen de production soit minimal.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière première}, step={3}, origin={???}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
    On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $12m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges. 

    On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \includegraphics[scale=0.8]{./fig/citerne}
    \end{minipage}

    \begin{enumerate}
        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{4}{x}$.
        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
            \[
                S(x) = 6x + 8 + \frac{24}{x}
            \]
        \item Démontrer que 
            \[
                S'(x) = \frac{6(x-2)(x+2)}{x^2}
            \]
        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

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