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TeX
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, points=5, tribe={TST1}, type={automatismes}]
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\begin{enumerate}
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\item Simplifier le calcul suivant
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\[
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\frac{5^{-4} \times 5^{-3}}{5^2 \times 5^6} &=
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\]
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\vfill
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\item Un article de mode est vendu en solde 225\euro. Les vendeurs expliquent qu'il est soldé à 15\%. Quel était son prix avant les soldes?
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\vfill
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\item Soit $X$ la variable aléatoire dont la loi de probabilité est résumé pas le tableau suivant
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{3}{p{2cm}|}}
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\hline
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$x_i$ & -3 & 2 & 5 \\
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\hline
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$p_i$ & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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Calculer la valeur de $E[X]$.
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\vfill
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\item Calculer la moyenne géométrique de $a=3$ et $b=20$.
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\vfill
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\item Soit $(d)$ la droite d'équation $y = 2x - 3$. Est-ce que le point $A(4; 5)$ appartient à la droite?
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\vfill
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Fonctions polynômes}, points=8, tribe={TST1}, type={Exercise}]
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Soit $f$ la fonction définie sur $\intFF{0}{5}$ par
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\[
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f(x) = x^3 - 7.5x^2 + 12x + 20.5
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $f(-1)$ puis interpréter.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
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\item Démontrer que $x=1$ et $x=4$ sont des racines de $f'(x)$.
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\end{enumerate}
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Dans la suite, on supposera que l'on a $f'(x) = 3(x-1)(x-4)$.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumii}{2}
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\item Tracer le tableau de signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$ sur $\intFF{0}{5}$.
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\end{enumerate}
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\item (Vrai/faux) Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses. Vous justifierez vos réponses.
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\begin{enumerate}
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\item $f$ est croissante sur l'intervalle $\intFF{0}{1}$ et décroissante sur l'intervalle $\intFF{1}{4}$.
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\item $f$ est une fonction polynôme de degré 3.
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\item $f(x)$ a pour minimum 12 sur $\intFF{0}{5}$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Placements}, points=7, tribe={TST1}, type={Exercise}]
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\begin{enumerate}
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\item Bob a placé, en 2010, \np{2000}\euro sur un compte avec un rendement de 3,5\% par ans.
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\begin{enumerate}
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\item Quel sera le solde du compte en 2011, et 2015?
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\item Si on modélise le solde du compte par la suite $(u_n)$. Quelle est la nature de la suite? Préciser les paramètres.
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\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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\item Sa copine Sarah a fait un placement similaire qui a débuté en 2015. On note $v_n$ la suite qui modélise le solde de son compte. On supposera qu'elle est géométrique et on a les valeurs suivantes
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\[
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u_1 = 3000 \qquad \qquad u_3 = 3300
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la moyenne géométrique de $u_1$ et de $u_3$ pour démontrer que la valeur de $u_2$ est d'environ \np{3246}.
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\item Démontrer que la raison de la suite est d'environ $q=1,048$.
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\item En déduire le rendement du placement de Sarah.
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\item Quelle était la somme que Sarah a placé sur son compte en 2015?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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