2020-2021/Complementaire/03_Logarithme/1B_exponentielle.tex

163 lines
4.2 KiB
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Logarithme - Cours}
\date{avril 2021}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section{La fonction exponentielle}
\subsection*{Relation fonctionnelle}%
\begin{definition}
Nomme $e$ le nombre d'Euler $e$ qui vaut environ $e\approx \np{2,718281828459}$.
\noindent
La fonction \textbf{exponentielle} est la fonction puissance de base $e$
\[
exp: x \mapsto e^x
\]
Cette fonction est définie sur $\R$.
\end{definition}
\begin{propriete}
La fonction exponentielle partage les propriétés suivantes avec toutes les fonctions puissances
\begin{itemize}
\item Valeur particulières
\[
exp(0) = e^0 = 1 \qquad \qquad exp(1) = e^1 = e
\]
\item Relations fonctionnelles
Soit $x$ et $y$ 2 nombres réels
\[
e^x \times e^y = e^{x+y} \qquad \qquad
e^{-x} = \frac{1}{e^{x}} \qquad \qquad
\frac{e^x}{e^y} = e^{x-y} \qquad \qquad
(e^x)^y = e^{x\times y}
\]
\item Simplification des égalités
Soit $x$ et $y$ 2 nombres réels alors
\[
e^x = e^y \equiv x = y
\]
\end{itemize}
\end{propriete}
\paragraph{Exemples}%
\begin{itemize}
\item Simplification des expressions
\[
\frac{e^2\times e^3}{e^e} = \qquad \qquad \qquad (e^3\timese^5)^3 =
\]
\item Réduction d'expressions
\[
(1+e^x)(1-e^x) =
\]
\item Factorisation
\[
3 e^x + (2x-1)e^x =
\]
\item Équations
\[
e^{3x + 1} = e^{2x - 3}
\]
\end{itemize}
\afaire{compléter les exemples}
\subsection{Dérivée}
\begin{propriete}[Dérivée de $\exp$]
La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
\[
\forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
\]
En particulier c'est LA fonction puissance qui vérifie $f'(0) = 1$.
\end{propriete}
\paragraph{Exemple de calcul}
Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
\afaire{}
Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).
On en déduit, pour tout $x \in \R$, $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
\begin{propriete}
Soit $x$ et $y$ deux nombres réels alors
\[
e^x \leq e^y \equiv x \leq y
\]
\end{propriete}
\paragraph{Résolution d'inéquation} Résoudre l'inéquation
\[
e^{-3x + 2} - 1 \geq 0
\]
\subsection*{Étude de la fonction}
\begin{propriete}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{itemize}
\item Elle est continue et dérivable sur $\R$
\item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
\end{itemize}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
{$-\infty$, $+\infty$}%
\tkzTabVar{-/, +/}%
\end{tikzpicture}
\[
\lim_{x \rightarrow - \infty} e^x = \cdots
\qquad \qquad
\lim_{x \rightarrow + \infty} e^x = \cdots
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=0.8]
\tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
ymin=0,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
\tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{definition}
\subsection*{Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle}
\begin{propriete}
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
Alors la fonction $f:x\mapsto e^{u(x)}$ est aussi dérivable sur $I$ et sa dérivée est
\[
f'(x) = u'(x)\times e^{u(x)}
\]
\end{propriete}
\subsection*{Exemple}
Calcul de la dérivée de $f(x) = e^{-0.1x}$
\afaire{}
Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^{-0.1x}$
\afaire{}
\end{document}