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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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% Title Page
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\title{DS8 \hfill \Var{Nom}}
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\tribe{TST sti2d}
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\date{\hfillÀ render pour le vendredi 9 avril à 10h au plus tard}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}]
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%- set a = Integer.random(-5, 5)
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%- set A = (a/2).decimal
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%- set x1 = Integer.random()
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%- set x2 = Integer.random(rejected=[0, 1, x1])
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%- set b = -1* a*(x1+x2)
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%- set c = a*x1*x2
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%- set N = Polynom.from_coefficients([c._mo, b._mo, a._mo])
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On considère la fonction $f$ définie sur $\intOF{0}{+\infty}$ par $ f(x) = \Var{A}x^2 + \Var{b}x + \Var{c}\ln(x)$
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que la dérivée de $f$ est $f'(x) = \frac{\Var{a}x^2 + \Var{b}x + \Var{c}}{x}$.
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\item Étude du numérateur de $f'(x)$: $N(x) = \Var{N}$
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $x=\Var{x1}$ et $x=\Var{x2}$ sont deux racines de $N(x)$..
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\item Proposer une forme factorisée de $N(x)$.
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\item Proposer une forme factorisée de $f'(x)$.
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\end{enumerate}
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\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item pas de correction disponible
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\item
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\begin{enumerate}
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\item \[N(\Var{x1}) = \Var{N(x1)}\]
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\[N(\Var{x2}) = \Var{N(x2)}\]
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\item \[
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N(x) = \Var{a}(x - \Var{x1})(x - \Var{x2})
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\]
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\item
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\[
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f'(x) = \frac{\Var{a}(x - \Var{x1})(x - \Var{x2})}{x}
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\]
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\end{enumerate}
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\item Pas de correction disponible
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%- set I = sympy.I
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%- set latex = sympy.latex
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%- set sqrt = sympy.sqrt
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%- set exp = sympy.functions.exp
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%- set integrate = sympy.integrate
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\begin{exercise}[subtitle={Complexes}]
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\begin{enumerate}
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%- set z_num = randint(2, 10) + I*randint(2, 10)
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%- set z_denom = -randint(2, 10) + I*randint(2, 10)
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%- set z1 = z_num / z_denom
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\item Mettre le nombre complexe suivant sous forme algébrique $z_1 = \dfrac{\Var{latex(z_num)}}{\Var{latex(z_denom)}} $
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%- set base = choice([(1, sqrt(3)), (sqrt(2), sqrt(2)), (sqrt(3), 1)])
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%- set z2 = randint(1, 10)*(choice([1, -1])*base[0] + choice([1, -1])*base[1]*I)
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\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_2 = \Var{latex(z2)}$
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%- set base = choice([(1, sqrt(3)), (sqrt(2), sqrt(2)), (sqrt(3), 1)])
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%- set z3 = randint(1, 10)*(choice([1, -1])*base[0] + choice([1, -1])*base[1]*I)
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\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_3 = \Var{latex(z3)}$
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%- set z4 = z2*z3
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\item Calculer le produit $z_4=z_2\times z_3$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
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%- set z5 = z2/z3
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\item Calculer le quotient $z_5=\frac{z_2}{z_3}$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item $z_1 = \Var{latex(sympy.re(z1) + sympy.im(z1)*I)}$
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\item $z_2 = \Var{latex(sympy.Abs(z2))} e^{\Var{latex(I*sympy.arg(z2))}}$
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\item $z_3 = \Var{latex(sympy.Abs(z3))} e^{\Var{latex(I*sympy.arg(z3))}}$
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\item $z_4 = \Var{latex(sympy.Abs(z4))} e^{\Var{latex(I*(sympy.arg(z2) + sympy.arg(z3)))}} = \Var{latex(sympy.re(z4) + sympy.im(z4)*I)} = \Var{latex(sympy.N(sympy.re(z4), 3)+ sympy.N(sympy.im(z4), 3)*I)}$
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\item $z_5 = \Var{latex(sympy.Abs(z5))} e^{\Var{latex(I*(sympy.arg(z2) - sympy.arg(z3)))}} = \Var{latex(sympy.re(z5) + sympy.im(z5)*I)} = \Var{latex(sympy.N(sympy.re(z5), 3)+ sympy.N(sympy.im(z5), 3)*I)}$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Sortie du congélateur}]
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%- set Tp = randint(15, 25)
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%- set T0 = randint(-20, -15)
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%- set T15 = randint(-4, 4)
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Marie a invité quelques amis pour le thé. Elle souhaite leur proposer ses macarons maison.
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Elle les sort de son congélateur à $\Var{T0}$~\degres C et les place dans une pièce à $\Var{Tp}$~\degres C.
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Au bout de 15 minutes, la température des macarons est de $\Var{T15}$~\degres C.
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\bigskip
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\textbf{Premier modèle}
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\medskip
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On suppose que la vitesse de décongélation est constante : chaque minute la hausse de
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température des macarons est la même.
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Estimer dans ce cadre la température au bout de $30$~minutes, puis au bout de $45$~minutes.
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Cette modélisation est-elle pertinente?
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\bigskip
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\textbf{Deuxième modèle}
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\medskip
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On suppose maintenant que la vitesse de décongélation est proportionnelle à la différence
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de température entre les macarons et l'air ambiant (il s'agit de la loi de Newton).
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On désigne par $\theta$ la température des macarons à l'instant $t$, et par $\theta'$ la vitesse de décongélation.
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L'unité de temps est la minute et l'unité de température le degré Celsius.
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\smallskip
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On négligera la diminution de température de la pièce et on admettra donc qu'il existe un
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nombre réel $a$ tel que, pour $t$ positif :
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\[\theta'(t) = a [\theta(t) - \Var{Tp}]\quad (E)\]
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Vérifier que l'équation $(E)$ a pour solutions $\theta(t) = K e^{at} + \Var{Tp}$ où $K$ est un nombre réel.
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Donner alors, en fonction de $a$, l'ensemble des solutions de $(E)$.
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\end{enumerate}
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On rappelle que la température des macarons à l'instant $t = 0$ est égale à $\Var{T0}$~\degres C et que, au bout de $15$~min, elle est de $\Var{T15}$~\degres C.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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%- set k = T0 - Tp
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\item En utilisant la condition à $t=0$ démontrer que $K = \Var{k}$.
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%- set a = round(log((T15 - Tp)/k)/15, 2)
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\item En utilisant la condition à $t=15$ démontrer que $a \approx \Var{a}$.
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\item En déduire l'expression de la solution de l'équation différentielle puis étudier ses variations.
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\item La température idéale de dégustation des macarons étant de $\Var{Tp-3}$~\degres C, Marie estime que
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celle-ci sera atteinte au bout de $30$~min. A-t-elle raison ? Justifier la réponse.
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Sinon, combien de temps faudra-t-il attendre ?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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