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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Complexes, module et argument}
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\tribe{Terminale ST Sti2d}
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\date{Octobre 2020}
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\pagestyle{empty}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{1}
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\section{Module et argument d'un nombre complexe}
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\subsection*{Définition}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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Un nombre complexe peut être décrit de façon \textbf{trigonométrique}, pour cela il est décrit par deux grandeurs
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Le module}, $r$, c'est sa distance avec l'origine.
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\item \textbf{L'argument}, $\theta$, c'est l'angle orienté qu'il fait avec l'axe des abscisses.
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\end{itemize}
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On écrira alors
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\[
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z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))
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\]
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=.8, xscale=.8]
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\repereNoGrid{-1}{5}{-1}{5}
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\draw (0,0) -- (3,3) node [above, midway, sloped] {$r$} node [above right] {$M(a+ib)$};
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\draw [->] (2,0) arc (0:45:2) node [midway, right] {$\theta$};
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\draw [dashed] (3,0) node [below] {$a$} -- (3,3);
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\draw [dashed] (0,3) node [left] {$b$} -- (3,3);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\subsection*{Trigonométrique vers algébrique}
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On a un nombre complexe sous forme trigonométrique $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$. Sa forme algébrique est alors
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\[
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a = r\cos(\theta) \mbox{ et } b = r\sin(\theta)
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\]
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\paragraph{Exemple:} Forme algébrique de $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$
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\afaire{à convertir}
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\subsection*{Algébrique vers trigonométrique}
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On a un nombre complexe sous forme algébrique $z = a + ib$. On peut calculer son module et son argument ainsi
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\[
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r = \sqrt{a^2+b^2} \qquad \mbox{ et } \theta \mbox{ se détermine avec } \qquad \cos(\theta) = \frac{a}{r} \qquad \sin(\theta) = \frac{b}{r}
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\]
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\paragraph{Exemple:} Retrouver le module et l'argument de $z = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$
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\afaire{à convertir}
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\end{document}
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