2020-2021/TST/05_Etude_Polynomes/1B_signe_variations.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Étude Polynômes - Cours}
\date{Novembre 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Polynômes}

\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
    Soit $P(x)$ un polynôme, il peut prendre différentes formes mais deux sont particulièrement intéressantes
    \begin{itemize}
        \item \textbf{la forme développée}: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x +  a_0$
        \item \textbf{la forme factorisée}: $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$
    \end{itemize}
\end{bclogo}

La forme développée est pratique pour dériver la fonction polynôme.

La forme factorisée est pratique pour résoudre des équations et étudier le signe de la fonction.

\paragraph{Exemples}%
Relier les formes factorisées avec les formes développées qui sont égales

\medskip
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    Formes développées

    \begin{tabular}{@{}r@{\quad}>{$\bullet$}c@{}}
        $4 x^3 - 20 x^2 + 28 x - 12$ &\\
        $3 x^2 - 3 x - 6$ &\\
        $-x^3 - x^2 + 4 x + 4$ &\\
    \end{tabular}   
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    Formes factorisées

    \begin{itemize}
        \item $3(x+1)(x-2)$
        \item $-(x+1)(x-2)(x+2)$
        \item $4(x-3)(x-1)^2$
    \end{itemize}
\end{minipage}

Vidéo sur la méthode pour faire de gros développement.

\section{Étude de signe d'une forme factorisée}

\paragraph{Exemple} étude du signe de 
\[
    f(x) = 3(2x-1)(-4x+1)
\]

\section{Étude des variations d'un polynôme}

\paragraph{Exemple} étude des variations de 
\[
    f(x) = 0.1x^3 - 0.2x^2 - 0.4x + 10
\]

\end{document}