Une \textbf{équation différentielle} est une relation une variable ($x$, $t$...), une fonction ($f$) et les dérivées de cette fonction ($f'$, $f''$...).
\textbf{Résoudre une équation différentielle} consiste à déterminer toutes les fonctions qui satisfont cette relation.
\end{definition}
\subsection*{Exemple}
On souhaite résoudre l'équation différentielle $f'(x)=3x^2$.
Le cours sur la primitive nous permet résoudre cette équation. Une solution peut-être
\[
f(x) = x^3
\]
Mais il en existe d'autres
\[
f(x) = x^3 + 1 \qquad\qquad
f(x) = x^3 + 2 \qquad\qquad
f(x) = x^3 - 1 \qquad\qquad
f(x) = x^3 - 4 \qquad\qquad
\]
On peut vérifier que cette fonction est bien solution de cette équation la dérivant:
\afaire{}
On peut noter toutes ces solutions sous la forme suivantes
\[
f(x) = x^3 + k \qquad\mbox{ avec } k \mbox{ un nombre réel}
\]
Cela signifie qu'il y a une infinité de solution à cette équation différentielle. Toutes les fonctions tracées dans le graphiques ci-dessous sont des solutions (et il en existe une infinité d'autres)
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.7, xscale=1.4]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3}
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+1}
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+2}
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-1}
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-4}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{encadre}{ Notation }
Il y a différente façons de noter les dérivées dans les équations différentielles:
