2020-2021/TST/DM/2010_DM1/TST3/06_2010_DM1.tex

\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill BUDIN Nathan}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 1}{6} - \dfrac{1}{6}$
            \item $B = \dfrac{9}{5} - \dfrac{1}{40}$

            \item $C = \dfrac{6}{7} + \dfrac{5}{6}$
            \item $D = \dfrac{2}{10} + 6$

            \item $E = \dfrac{- 5}{10} \times \dfrac{- 9}{9}$
            \item $F = \dfrac{- 5}{5} \times 2$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 1}{6} - \dfrac{1}{6}=\dfrac{- 1}{6} - \dfrac{1}{6}=\dfrac{- 1 - 1}{6}=\dfrac{- 1 - 1}{6}=\dfrac{- 2}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{9}{5} - \dfrac{1}{40}=\dfrac{9}{5} - \dfrac{1}{40}=\dfrac{9 \times 8}{5 \times 8} - \dfrac{1}{40}=\dfrac{72}{40} - \dfrac{1}{40}=\dfrac{72 - 1}{40}=\dfrac{72 - 1}{40}=\dfrac{71}{40}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{6}{7} + \dfrac{5}{6}=\dfrac{6 \times 6}{7 \times 6} + \dfrac{5 \times 7}{6 \times 7}=\dfrac{36}{42} + \dfrac{35}{42}=\dfrac{36 + 35}{42}=\dfrac{71}{42}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{2}{10} + 6=\dfrac{2}{10} + \dfrac{6}{1}=\dfrac{2}{10} + \dfrac{6 \times 10}{1 \times 10}=\dfrac{2}{10} + \dfrac{60}{10}=\dfrac{2 + 60}{10}=\dfrac{62}{10}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 5}{10} \times \dfrac{- 9}{9}=\dfrac{- 5 \times - 9}{10 \times 9}=\dfrac{45}{90}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 5}{5} \times 2=\dfrac{- 5 \times 2}{5}=\dfrac{- 10}{5}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (- 4x + 2)(- 8x + 2)$
            \item $B = (10x - 5)(5x - 5)$

            \item $C = (2x - 6)^{2}$
            \item $D = 1 + x(- 3x - 2)$

            \item $E = 5x^{2} + x(7x + 3)$
            \item $F = 2(x - 2)(x - 8)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (- 4x + 2)(- 8x + 2)\\&= - 4x \times - 8x - 4x \times 2 + 2 \times - 8x + 2 \times 2\\&= - 4 \times - 8 \times x^{1 + 1} + 2 \times - 4 \times x + 2 \times - 8 \times x + 4\\&= - 8x - 16x + 32x^{2} + 4\\&= (- 8 - 16) \times x + 32x^{2} + 4\\&= 32x^{2} - 24x + 4
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (10x - 5)(5x - 5)\\&= 10x \times 5x + 10x \times - 5 - 5 \times 5x - 5 \times - 5\\&= 10 \times 5 \times x^{1 + 1} - 5 \times 10 \times x - 5 \times 5 \times x + 25\\&= - 50x - 25x + 50x^{2} + 25\\&= (- 50 - 25) \times x + 50x^{2} + 25\\&= 50x^{2} - 75x + 25
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (2x - 6)^{2}\\&= (2x - 6)(2x - 6)\\&= 2x \times 2x + 2x \times - 6 - 6 \times 2x - 6 \times - 6\\&= 2 \times 2 \times x^{1 + 1} - 6 \times 2 \times x - 6 \times 2 \times x + 36\\&= - 12x - 12x + 4x^{2} + 36\\&= (- 12 - 12) \times x + 4x^{2} + 36\\&= 4x^{2} - 24x + 36
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= 1 + x(- 3x - 2)\\&= 1 + x \times - 3x + x \times - 2\\&= - 3x^{2} - 2x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 5x^{2} + x(7x + 3)\\&= 5x^{2} + x \times 7x + x \times 3\\&= 5x^{2} + 7x^{2} + 3x\\&= 5x^{2} + 7x^{2} + 3x\\&= (5 + 7) \times x^{2} + 3x\\&= 12x^{2} + 3x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 2(x - 2)(x - 8)\\&= (2x + 2 \times - 2)(x - 8)\\&= (2x - 4)(x - 8)\\&= 2x \times x + 2x \times - 8 - 4x - 4 \times - 8\\&= - 8 \times 2 \times x + 32 + 2x^{2} - 4x\\&= - 16x + 32 + 2x^{2} - 4x\\&= 2x^{2} - 16x - 4x + 32\\&= 2x^{2} + (- 16 - 4) \times x + 32\\&= 2x^{2} - 20x + 32
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 4x^{2} + 32x + 36$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 4 \times 1^{2} + 32 \times 1 + 36=- 4 \times 1 + 32 + 36=- 4 + 68=64
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 4 \times - 1^{2} + 32 \times - 1 + 36=- 4 \times 1 - 32 + 36=- 4 + 4=0
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



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\end{document}

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%%% TeX-master: "master"
%%% End: