2020-2021/TST/10_Probabilites_conditionnelles/2B_arbre.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
\date{Mars 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{1}
\section{Arbre et probabilité conditionnelles}

Les probabilités conditionnelles peuvent se représenter sous forme d'arbre de probabilité.

    Soit $A$ deux évènements de $E$ avec $P(A) \neq 0$ et $B$, $C$ et $D$ trois autres évènements de $E$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:

\begin{minipage}{0.3\textwidth}
    \begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, xscale=2, yscale=1.5]
        \node {.} 
        child [red]  {node {$A$}
            child {node {$B$} 
                edge from parent
                node[above] {$P_A(B)$}
            }
            child [black] {node {$C$}
                edge from parent
                node[above] {$P_A(C)$}
            } 
            child [black] {node {$D$}
                edge from parent
                node[above] {$P_A(D)$}
            } 
            edge from parent
            node[above] {$P(A)$}
        }
        child[missing] {}
        child[missing] {}
        child { node {$\overline{A}$}
            child {node {$B$} 
                edge from parent
                node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
            }
            child [black] {node {$C$}
                edge from parent
                node[above] {$P_{\overline{A}}(C)$}
            } 
            child [black] {node {$D$}
                edge from parent
                node[above] {$P_{\overline{A}}(D)$}
            } 
            edge from parent
            node[above] {$P(\overline{A})$}
        }%
        ;
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
    \begin{itemize}
        \item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1. 

            On a alors
            \[
                P(A) + P(\overline{ A }) = 1 
            \]
            ou encore
            \[
                P_A(B) + P_A(C) + P_A(D) = 1
            \]
        \item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues. 

            On a alors (chemin rouge)
            \[
                P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
            \]
            Ou encore la formule de Bayes
            \[
                P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
            \]
        \item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement. 

            C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
            \[
                P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
            \]
            ou
            \[
                P(C) = P(A\cap C) + P(\overline{A} \cap C)
            \]
    \end{itemize}
\end{minipage}

\paragraph{Exemple}~\\

    \begin{tabular}{|*{4}{p{2cm}|}c|}
        \hline
         & Moins de 20ans   & entre 20 et 50 ans  & Plus de 50ans &  Total \\
        \hline
        Guéris & 20 & 16 & 30 & 66\\
        \hline
        Malade & 24 & 10 & 5 & 39\\
        \hline
        Total & 44 & 26 & 35 & 105\\
        \hline
    \end{tabular}

    On note
    \[
        A = \left\{ \mbox{Malade} \right\} \qquad  P = \left\{ \mbox{Plus de 50ans} \right\} \qquad 
        E = \left\{ \mbox{Entre 20 et 50ans } \right\} \qquad M = \left\{ \mbox{Moins de 20ans} \right\} \qquad 
    \]
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[sloped, xscale=2, yscale=1.5]
            \node {.} 
            child [red]  {node {$A$}
                child {node {$P$} 
                    edge from parent
                    node[above] {...}
                }
                child [black] {node {$E$}
                    edge from parent
                    node[above] {...}
                } 
                child [black] {node {$M$}
                    edge from parent
                    node[above] {...}
                } 
                edge from parent
                node[above] {...}
            }
            child[missing] {}
            child[missing] {}
            child { node {$\overline{A}$}
                child {node {$P$} 
                    edge from parent
                    node[above] {...}
                }
                child [black] {node {$E$}
                    edge from parent
                    node[above] {...}
                } 
                child [black] {node {$M$}
                    edge from parent
                    node[above] {...}
                } 
                edge from parent
                node[above] {...}
            }%
            ;
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    \afaire{Compléter l'arbre avec les probabilités}

\end{document}