2020-2021/Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/4B_coefBino_formule.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Binomiale et echantillonnage - Cours}
\date{Novembre 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{3}
\section{Coefficients binomiaux}

\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
    Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$.

    \textbf{Le coefficient binomial} $\coefBino{n}{k}$, se lit "$k$ parmi $n$", est le nombre de façon d'obtenir $k$ succès quand on fait $n$ répétitions ou encore le nombre de chemin avec $k$ succès dans un arbre avec $n$ étages.

    Par convention, $\coefBino{0}{0} = 1$.
\end{bclogo}

\paragraph{Exemples}%
\afaire{Tracer l'arbre qui correspond à une loi binomiale $\mathcal{B}(3, 0.1)$. Lister le nombre succès possibles et le nombre de chemins qui y mène puis faire lien avec les coefficients binomiaux.}

\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriétés}
    Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$.
    \[
        \coefBino{n}{0} = \coefBino{n}{n} = 1 \qquad \qquad \coefBino{n-1}{k-1} + \coefBino{n-1}{k} = \coefBino{n}{k}
    \]
    Il est possible de calculer ces coefficients binomiaux grâce au triangle de Pascale.
    
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|*{7}{c|}}
            \hline
            n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 
            \hline
            0 & & & & & & \\
            \hline
            1 & & & & & & \\
            \hline
            2 & & & & & & \\
            \hline
            3 & & & & & & \\
            \hline
            4 & & & & & & \\
            \hline
            5 & & & & & & \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \afaire{Compléter le tableau en utilisant les règles de calculs.}
\end{bclogo}

\paragraph{Exemples}%
Nombre de façon de d'avoir 4 succès en 5 répétitions $\coefBino{...}{...} = ...$
\afaire{à compléter}

\section{Formules des probabilités pour la loi binomiale}

\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriétés}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ alors pour tout entier naturel $k$ inférieur à $n$
    \[
        P(X = k) = \coefBino{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
    \]
\end{bclogo}


\paragraph{Exemples}%
Soit $X \sim \mathcal{B}(5, 0.1)$ alors
\[
    P(X = 3) = 
\]
\afaire{à compléter}







\end{document}