74 lines
2.3 KiB
TeX
74 lines
2.3 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||
|
|
\usepackage{myXsim}
|
||
|
|
|
||
|
|
\author{Benjamin Bertrand}
|
||
|
|
\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
|
||
|
|
\date{Mars 2021}
|
||
|
|
|
||
|
|
\pagestyle{empty}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
\maketitle
|
||
|
|
|
||
|
|
\setcounter{section}{1}
|
||
|
|
\section{Tests Bayésiens}
|
||
|
|
|
||
|
|
Un test bayésien permet d'affiner la vraisemblablité d'hypothèses. La vraisemblablité sont modélisées par des probabilités.
|
||
|
|
|
||
|
|
On part d'un \textbf{a priori} (notre évaluation de la vraisemblablité des hypothèses avant le test). Puis nous faisons le test ce qui permet d'ajuster la vraisemblablité des hypothèses. Nous obtenons un \textbf{a posteriori}.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\includegraphics[scale=1]{./fig/test_baysien}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection*{Test médical}
|
||
|
|
|
||
|
|
Étudions l'intérêt d'un test médical. Pour faire simple, on considèrera que l'on est soit \textbf{malade} soit pas malade et que le test donne deux résultats possibles \textbf{positif} ou négatif. On notera alors
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
A = \left\{ \mbox{Malade} \right\} \qquad \qquad B = \left\{ \mbox{Test positif} \right\}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\paragraph{Paramètres du test:}
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item \textbf{Sensibilité}: la probabilité que le test soit positif sachant que l'on est malade
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
P_A(B) = 0.9
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item \textbf{Spécificité}: la probabilité que le test soit négatif sachant que l'on est pas malade
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0.99
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
\paragraph{A priori:} on estime que 1\% de la population est malade. On appelle cela la \textbf{la prévalence} d'un maladie. On peut noter
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
P(A) = 1\% = 0.01
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
J'ai donc une chance sur 100 d'avoir cette maladie.
|
||
|
|
\paragraph{Mise en situation:} On fait un test qui est positif. Comment réévaluer la probabilité d'être malade? C'est à dire connaître
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
P_B(A) = ?
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
|
||
|
|
Imaginons une population de 1000 individus. En respectant les proportions, on peut construire le tableau des effectifs:
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tabular}{|*{4}{p{3cm}|}}
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
& Test positif ($B$) & Test négatif ($\overline{B}$) & Total \\
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
Malade ($A$) & & & \\
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
Pas malade ($\overline{A}$) & & & \\
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
Total & & & 1000 \\
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
\end{tabular}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\afaire{Compléter le tableau et calculer la probabilité cherchée}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|