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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{qrcode}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
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\date{Mars 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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\section{Formule de Bayes}
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\subsection*{Arbre de probabilité}
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Les probabilités conditionnelles peuvent se représenter sous forme d'arbre de probabilité.
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Soit $A$ deux évènements de $E$ avec $P(A) \neq 0$ et $B$, $C$ et $D$ trois autres évènements de $E$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, xscale=2, yscale=1.5]
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\node {.}
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child [red] {node {$A$}
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child {node {$B$}
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edge from parent
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node[above] {$P_A(B)$}
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}
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child [black] {node {$C$}
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edge from parent
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node[above] {$P_A(C)$}
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}
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child [black] {node {$D$}
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edge from parent
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node[above] {$P_A(D)$}
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}
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edge from parent
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node[above] {$P(A)$}
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}
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child[missing] {}
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child[missing] {}
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child { node {$\overline{A}$}
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child {node {$B$}
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edge from parent
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node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
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}
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child [black] {node {$C$}
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edge from parent
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node[above] {$P_{\overline{A}}(C)$}
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}
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child [black] {node {$D$}
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edge from parent
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node[above] {$P_{\overline{A}}(D)$}
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}
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edge from parent
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node[above] {$P(\overline{A})$}
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}%
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;
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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\begin{itemize}
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\item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1.
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On a alors
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\[
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P(A) + P(\overline{ A }) = 1
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\]
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ou encore
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\[
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P_A(B) + P_A(C) + P_A(D) = 1
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\]
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\item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues.
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On a alors (chemin rouge)
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\[
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P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
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\]
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|
Ou encore
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\[
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P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
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\]
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\item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement.
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C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
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\[
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P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
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\]
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|
ou
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\[
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P(C) = P(A\cap C) + P(\overline{A} \cap C)
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\]
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\begin{definition}[ Formule de Bayes ]
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Soit $A$ et $B$ deux évènements avec $P(A)$ non nul, Alors
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\[
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P_A(B) = \frac{P_B(A) \times P(B)}{P(A)}
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\]
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\end{definition}
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\paragraph{Démonstration} \afaire{Démontrer la formule de Bayes à partir de la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }$.}
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\paragraph{Exemple}
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En utilisant les données et les notations de le l'exemple précédent, calculer la probabilité d'être malade sachant que l'on est positif.
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\afaire{}
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\end{document}
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